课下能力提升(二十三)[学业水平达标练]题组1给角求值问题1．sin105°的值为()A.B.C.D.解析：选Dsin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.2．sinθ＋sin＋sin的值为()A．0B.C．1D．2解析：选A原式＝sinθ＋sinθcos＋cosθsin＋sinθcos＋cosθsin＝sinθ－sinθ＋cosθ－sinθ－cosθ＝0.3．tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°的值是________．解析：∵tan60°＝＝，∴tan23°＋tan37°＝－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.答案：题组2给值(式)求角问题4．设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为()A.B.C.D.或解析：选C因为α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，所以cosα＝－，sinβ＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－－×＝，所以α＋β的值为.5．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝________.解析：(tanα－1)(tanβ－1)＝2⇒tanαtanβ－tanα－tanβ＋1＝2⇒tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1⇒＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.答案：kπ－，k∈Z6．已知△ABC中B＝60°，且＋＝－，若A>C，则A的值为________．解析：由已知B＝60°，A＋C＝120°，设＝α，∵A>C，则0°<α<120°，故A＝＋＝60°＋α，C＝－＝60°－α，故＋＝＋＝＋＝＝.由题设有＝－＝－2，整理得：4cos2α＋2cosα－3＝0.(2cosα－)(2cosα＋3)＝0.∵2cosα＋3≠0，∴2cosα－＝0.∴cosα＝.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.答案：105°题组3条件求值问题7．若cosα＝－，α是第三象限角，则sin＝()A．－B.C．－D.解析：选A因为cosα＝－，α是第三象限角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝－.8．设α∈，β∈，若cosβ＝－，sin＝，则sinα的值为()A.B.C.D.解析：选C因为α∈，β∈，所以α＋β∈.由cosβ＝－，sin(α＋β)＝，得sinβ＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝×－×＝.9．在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanA·tanB的值为()A.B.C.D.解析：选B∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，∴tanA＋tanB＝(1－tanA·tanB)＝，解得tanA·tanB＝.故选B.10．若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，则cos的值为________．解析：∵cos＝－，∴cos＝.∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.∵－<β<0，∴<－<.又cos＝，∴sin＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin－＝×＋×＝.答案：[能力提升综合练]1．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C)＝2sinCcosB⇒sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB⇒sinBcosC－cosBsinC＝0⇒sin(B－C)＝0.∵01，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能解析：选A由tanAtanB>1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.5．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.解析：依题设得：＝sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝.∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.又∵cosα＝，∴sinα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.答案：6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由条件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.∴tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.7．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：∵f＝－，∴2cos＝2cos＝－，∴sinα＝.又∵f＝，∴2cos＝2cosβ＝，∴cosβ＝.又∵α，β∈，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
