3.2简单的三角恒等变换1．半角的正弦、余弦、正切公式（1）半角的正弦公式在公式中用来代替，得到公式，即__________.（2）半角的余弦公式在公式中用来代替，得到公式，即__________.（3）半角的正切公式由于，则__________.上述三个式子称为半角公式（不要求记忆），符号由所在象限决定.2．三角函数的积化和差、和差化积公式（1）积化和差公式；；；.（2）和差化积公式；；；.3．辅助角公式，其中，此公式我们称为辅助角公式.利用辅助角公式,可将形如的函数转化为形如的函数,此形式可方便研究函数的性质，此过程蕴含了化归思想.参考答案：1．（1）（2）（3）重点三角函数式的化简、求值和证明难点三角恒等变换中角的变换易错求三角函数值时公式选用错误一、辅助角公式的应用依据题中的函数形式，正确转化为辅助角公式的形式是一种化简方法，也为解决复杂三角函数解析式的有关性质问题提供了一个解题方向.【例1】（2015福建）已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．（1）求实数m的取值范围；（2）证明：【解析】(Ⅰ)将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，从而函数的图象的对称轴方程为(Ⅱ)（1）（其中）.依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.（2）方法一：因为是方程在区间内的两个不同的解，所以，.当时，当时,所以方法二：因为是方程在区间内的两个不同的解，所以，.当时，当时,.所以.于是二、三角恒等变换1.三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，基本方法是统一角，统一三角函数的名称.2.三角恒等式的证明实质上是消除式子左、右两边的结构、角、函数名等的差异,有目的地化繁为简.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换、公式变形等.3.三角函数求值主要有两种类型，即：（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式；（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.【例2】已知与均为锐角,求.【解析】因为所以又因为，所以若，因为所以不可能.故，所以所以==因为，所以.故【例3】求下列各式的值：（1）cos+cos-2sincos;（2）sin138°-cos12°+sin54°.【解析】（1）cos+cos-2sincos=2coscoscos=2coscoscos=coscos=0.（2）sin138°-cos12°+sin54°=sin42°-cos12°+sin54°=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=====.三、求三角函数值时错选公式【例4】若cosα-cosβ=①,sinα-sinβ=-②,求sin(α+β)的值.【错解】由①2+②2得2-2cos(α-β)=,∴cos(α-β)=.由①2-②2得cos2α+cos2β-2cos(α+β)=,即cos(α+β)[2cos(α-β)-2]=.把cos(α-β)=代入上式,得cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=±=±.【错因分析】错解中无法判定sin(α+β)的符号,因而对所得结论也无法验证其正确性,解题时应恰当选择解法,合理选用公式.【正解】将①②两式左边和差化积,得-2sinsin③,2cossin=-④,由③④得sin≠0,于是,③÷④得tan,∴sin(α+β)=.【名师点睛】在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可能不同，但是最终的结果应该相同，因此应该避开含有正负号的公式，灵活、恰当地选择公式求解.1．若A．2B．C．-2D．2．若π<α<2π,则化简的结果是A．sinB．cosC．-cosD．-sin3．在中,若B=45°,则cosAsinC的取值范围是A．[-1,1]B．[,]C．[-1,]D．[,]4．若当时，取得最大值，则的值为A．B．C．D．5．若，则.6．等腰三角形的顶角的正弦值为,则它的底角的余弦值为.7．函数y=sin(+x)·cos(-x)的最大值为.8．已知|cosθ|=,且<θ<3π,求sin,cos,tan的值.9．已知tan，tanαtanβ=，求cos(α－β)的值．10．证明：2sin22α+sin4α-·=2sin(4α-).11...
