3.2简单的三角恒等变换A级基础巩固一、选择题1．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：因为y＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，所以最小正周期为T＝＝＝π.答案：C2．若函数f(x)＝－sin2x＋(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数解析：f(x)＝－＋＝cos2x.答案：D3．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是()A．－B．±C．－1D．±1解析：cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos(x－)＝－1.答案：C4．函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x(x∈R)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数解析：注意到sin2x＝(1－cos2x)，因此f(x)＝(1＋cos2x)·(1－cos2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x)，即f(x)＝(1－cos4x)，所以f(x)的最小正周期为＝，又f(－x)＝(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数．答案：D5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x＜，则f(x)的最大值是()A．1B．2C.＋1D.＋2解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＝sinx＋cosx＝2sin.因为0≤x＜，所以≤x＋＜π，所以当x＋＝时，f(x)取到最大值2.答案：B二、填空题6．已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝________．解析：由sinα＝，且α为第二象限角得，cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－，tan2α＝＝－.答案：－7．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．解析：因为3sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.答案：－8.－＝________．解析：原式＝＝＝＝4.答案：4三、解答题9．已知cosθ＝－，θ∈(π，2π)，求sin＋cos的值．解：因为θ∈(π，2π)，所以∈，所以sin＝＝，cos＝－＝－，所以sin＋cos＝.10．在△ABC中，cosA＋cosB＝sinC，求证：△ABC是直角三角形．证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝cosA＋cosB，利用和差化积公式，得cosA＋cosB＝2coscos，又因为sin(A＋B)＝2sincos，所以2sincos＝2coscos，显然cos≠0，故sin＝cos，两边平方，得sin2＝cos2，即＝，所以cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0，所以2cosAcosB＝0，即cosA＝0或cosB＝0.因为A，B是三角形的内角，所以A，B中必有一个为直角，所以△ABC是直角三角形．B级能力提升1．(2016·山东卷)函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是()A.B．πC.D．2π解析：法一因为f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝4(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝4sincos＝2sin，所以T＝＝π.法二因为f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以T＝＝π.答案：B2．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析：由已知得f(x)＝sin，令2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，由ω>0，得≤x≤，k∈Z，当k＝0时，得f(x)的一个单调递增区间为，所以(－ω，ω)⊆，所以解得0<ω≤，又函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以ω2＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω2＝kπ＋，k∈Z，又0<ω≤，所以ω＝.答案：3．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sinx在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
