高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课后集训 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式2课后集训基础达标1.cos4-sin4等于（）A.0B.C.1D.-解析：原式=（cos2-sin2）=cos=.∴应选B.答案：B2.等于（）A.2sin5°B.-2sin5°C.2cos5°D.-2cos5°解析：原式==cos5°-sin5°-sin5°-cos5°=-2sin5°.∴应选B.答案：B3.当cos2α=时，sin4α+cos4α的值是（）A.1B.C.D.解析：sin4α+cos4α=（sin2α）2+（cos2α）2===答案：C4.（经典回放）已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x等于（）A.B.-C.D.-解析：∵x∈（-，0），cosx=，∴sinx=-.∴tanx=.∴tan2x=.答案：D5.若＜α＜π，且cosα=a，则sin等于（）A.B.±C.D.±解析：∵cosα=1-2sin2且＜＜，∴sin=.答案：A6.函数y=sin2x-2cos2x的最大值是___________.解析：y=sin2x-（1+cos2x）=sin2x-cos2x-1=（sin2x·-cos2x）-1=sin（2x-）-1∵x∈R，∴ymax=-1.答案：-1综合运用7.化简（sin+cos）2+2sin2（-）得（）A.2+sinαB.2C.2+sinα-cosαD.2+sinα+cosα解析：原式=1+sinα+1-cos（-α）=1+sinα+1-sinα=2.答案：B8.的值是（）A.sin2B.-cos2C.cos2D.cos2解析：原式==∵＜2＜π，∴cos2＜0∴原式=答案：D9.cos2（-）-cos2（+）化简的最简结果是___________解析：原式=====答案：sinx拓展探究10.已知函数y=cos2x+sinxcosx+1，该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？思路分析：首先利用倍角公式和和角公式将原式转化成y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）的形式.解法1：∵y=cos2x+sinxcosx+1=·sin2x+1=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+,∴将函数y=sinx依次进行如下变换：（1）把函数y=sinx的图象向左平移，可得函数y=sin（x+）的图象.（2）把得到的函数y=sin（x+）的图象上各点横坐标缩短到原来的倍，而纵坐标不变，就可得到函数y=sin（2x+）的图象.（3）把第（2）步得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，即得到函数y=sin（2x+）的图象.（4）把（3）步得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图象.综上四步变换，就得到了函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象解法2：∵y=cos2x+sinxcosx+1=sin（2x+）+，∴将函数y=sinx的图象依次进行如下变换可得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.（1）把函数y=sinx的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍，而横坐标不变，可得到函数y=sinx的图象.（2）把得到的函数y=sinx的图象上各点横坐标缩短到原来的倍，而纵坐标不变，可得到函数y=sin2x的图象.（3）把所得的函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得到函数y=sin（2x+）的图象.（4）再把得到的图象向上平移个单位，就可得到函数y=sin（2x+）+的图象.综上可得到函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象备选习题11.函数y=sin2（x+）+cos2（x-）-1的最大值是___________.解析：y=-1=［cos（2x-）-cos（2x+］=sin2xsin=sin2x≤.所以ymax=.答案：12.求下列函数的值域：（1）f（x）=sinx+cosx（x∈［-，］)；（2）f（x）=cosx+cos（x+）；（3）f（x）=sin（x-）cosx.解：（1）因为f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），又-≤x≤,所以-≤x+≤，-1≤2sin（x+）≤2.所以，函数f（x）的值域为［-1，2］.（2）因为f（x）=cosx+cos（x+）=cosx+cosx-sinx=cos（x+），又-1≤cos（x+）≤1，所以-≤f（x）≤.所以，函数f（x）的值域为［-，］.（3）因为f（x）=sin（x-）cosx=（sinx-cosx）cosx=sin2x-cos2x-=sin（2x-）-，又-1≤sin（2x-）≤1，所以≤sin（2x-）-≤.所以，函数f（x）的值域为［，］.13.（经典回放）已知函数f（x）=cos2x-2sinxcosx-sin2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值、最小值.解：（1）因为f（x）=cos2x-2sinxcosx-sin2x=cos2x-sin2x=cos（2x+），所以f（x）的最小正周期T==π.（2）因为f（x）=cos（2x+），所以f（x）的最大值为，最小值为-.14.证明：=sin2θ+4cos2θ.证明：左边=====sin2θ+4cos2θ=右边.∴等式成立.15.已知函数f（x）=5sinxcosx-cos2x+（x∈R），（1）求f（x）的最小正周期；（2）确定函数f（x）的递增区间；（3）函数f（x）的图象可由函数y=5sin2x的图象经过怎样的变化得到.解：（1）f（x）=5sinxcosx-cos2x+=sin2x-=sin2x-cos2x=5（sin2xcos-cos2xsin）=5sin（2x-），∴最小正周期T==π.（2）设u=2x-，因为函数y=sinu的递增区间是［2kπ-，2kπ+］，（k∈Z），解不等式2kπ-≤2x-≤2kπ+，得2kπ-≤2x≤2kπ+，∴kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z）.∴f（x）的递增区间是［kπ-，kπ+］（k∈Z）.（3）∵f（x）=5sin（2x-）=5sin［2（x-］.∴函数f（x）的图象可由y=5sin2x的图象向右平移单位而得到.16.已知tan2θ=，＜2θ＜π，求的值.解：∵tan2θ=，∴tan2θ-tanθ-=0.∴tanθ=或tanθ=-.∵＜2θ＜π时＜θ＜，∴tanθ＞0，故tanθ=.∴原式==-3+2.