3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式主动成长夯基达标1.化简等于()A.2B.1C.-2D.-1解析:原式=答案:A2.cos4-sin4等于()A.0B.C.1D.-解析:原式=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos=.答案:B3.下列各式中,值为的是()A.sin15°cos15°B.2cos2-1C.D.解析:对于A,sin15°cos15°=sin30°=.对于B,2cos2-1=cos=.对于C,=cos15°.对于D,=tan45°=.故选D.答案:D4.等于()A.3B.C.1D.-1解析:∵,∴原式=.答案:A5.设f(tanx)=tan2x,则f(2)等于()A.B.C.-D.4解析:∵f(tanx)=tan2x,求f(2)即令tanx=2.∴tan2x=.答案:B6.已知0＜θ＜,化简所得结果是()A.cosθ-sinθB.sinθ-cosθC.cosθD.2cosθ解析:原式=,∵0＜θ＜,∴cosθ＞sinθ.∴原式=cosθ-sinθ.答案:A7.化简等于()A.cot2αB.tan2αC.cotαD.tanα解析:原式====tan2α.答案:B8.当0＜x＜时,函数f(x)=的最小值是()A.B.C.2D.4解析:∵0＜x＜,∴cosx≠0.把f(x)的分子,分母同时除以cos2x得f(x)=.∵0＜x＜,∴0＜tanx＜1.∴f(x)min=4.答案:D9.函数f(x)=cosx-cos2x(x∈R)的最大值等于_______________.解析:原式=f(x)=cosx-(2cos2x-1)=cosx-cos2x+=-(cos2x-cosx+)+=-(cosx-)2+.∵x∈R,∴-1≤cosx≤1.∴cosx=时,f(x)max=.答案:10.已知sinα=cos2α,α∈(,π),则tanα=_____________.解析:由sinα=cos2α,得sinα=1-2sin2α,即2sin2α+sinα-1=0.sinα=或sinα=-1(舍去),∴α=.∴tanα=tan=.答案:11.求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x-2的取值范围、最小正周期以及为增函数的区间.解:y=(sin2α+cos2α)+sin2α+2cos2x-2=1+sin2x+cos2x-1=sin(2x+).(1)∴-≤y≤.(2)T==π.(3)2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z).解之,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.12.已知cos(+x)=,＜x＜,求的值.解:方法一:∵原式==sin2x·=sin2x·=sin2x·tan(+x).①由＜x＜,知＜+x＜2π,又由cos(+x)=,得sin(+x)=,∴tan(+x)=.又sin2x=-cos(2x+)=-cos［2(+x)］=-［2cos2(+x)-1］=1-2cos2(+x)=1-2×.将上述结果代入①式有:原式=×()=.方法二:∵=.①由cos(+x)=,得coscosx-sinsinx=.∴有cosx-sinx=.②∴(cosx-sinx)2=,即2sinxcosx=.③又(cosx+sinx)2=1+2sinxcosx=1+=.∵＜x＜,cosx＞0,sinx＜0,且|cosx|＜|sinx|,∴cosx+sinx＜0.∴cosx+sinx=.④将②③④代入①得原式=.走近高考13.(2006陕西高考,17)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R),(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(1)f(x)=sin2(x-)+1-cos2(x-)=2［sin2(x-)-cos2(x-)］+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin(2x-)+1,∴T==π.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+,k∈Z,∴x=kπ+(k∈Z).∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,k∈Z}.14.(2006辽宁高考,17)已知函数f(x)=sin2x+2sinx·cosx+3cos2x,x∈R,求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;(2)函数f(x)的单调增区间.解:(1)方法一:∵f(x)=+sin2x+)=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+),∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+.因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}.方法二:∵f(x)=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+),∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+.因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}.(2)f(x)=2+sin(2x+).由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).因此,f(x)的单调增区间是［kπ-,kπ+］(k∈Z).15.(2006安徽高考,17)已知＜α＜π,tanα+cotα=.(1)求tanα的值;(2)求的值.解:(1)∵tanα+cotα=,∴3tan2α+10tanα+3=0.解得tanα=-3或tanα=-.∵＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-.(2)∵tanα=-,∴==16.(2006重庆高考,18)设函数f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω＞0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值;(2)如果f(x)在区间［-,］上的最小值为3,求a的值.解:(1)f(x)=cos2ωx+sin2ωx++a=sin(2ωx+)++a依题意得2ω·+=,解之,得ω=.(2)由(1)知f(x)=sin(x+)++a,又当x∈［-,］时,x+∈［0,］.故-≤sin(x+)≤1,从而f(x)在［-,］上取得最小值-++a.因此,由题设知-++a=3,故a=.17.(1)(2006全国高考卷Ⅱ,3)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.(2)(2006全国高考卷Ⅱ,10)f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析:(1)y=sin2xcos2x=sin4x.(2)f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,f(cosx)=2+2cos2x=2+1+cos2x=3+cos2x.答案:(1)D(2)C
