3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业][A组基础巩固]1．计算sin15°sin30°·sin75°的值等于()A.B.C.D.解析：原式＝sin15°·cos15°＝sin30°＝.答案：C2．若sin＝，则cos的值为()A．－B．－C.D.解析：cos＝－cos＝－cos＝－＝2sin2－1＝－.答案：B3．tan67°30′－的值为()A．1B.C．2D．4解析：tan67°30′－＝＝＝＝2.答案：C4．函数y＝2cos2－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数解析：y＝2cos2－1＝cos＝cos＝sin2x，所以T＝＝π，又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，函数为奇函数．答案：A5．设sin＝，则sin2θ＝()A．－B．－C.D.解析：sin＝(sinθ＋cosθ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin2θ)＝，∴sin2θ＝－.答案：A6．若2±是方程x2－5xsinθ＋1＝0的两根，则cos2θ＝________.解析：由题意，2＋＋(2－)＝5sinθ，即sinθ＝，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝－.答案：－7．已知tanx＝2，则tan2＝________.解析：∵tanx＝2，∴tan2x＝＝－.tan2＝tan＝＝＝－＝.答案：8．已知sin＋cos＝，则cos2θ＝________.解析：由sin＋cos＝，两边平方整理，得1＋sinθ＝，即sinθ＝－，cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝－.答案：－9．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解析：∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－且sinαcosα＝－<0.∵0<α<π，sinα>0，∴cosα<0.∴sinα－cosα>0.∴sinα－cosα＝＝＝.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝×(－)＝－.tan2α＝＝.10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f＝－，α∈，求sin的值．解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以有sin＝sinαcos＋cosαsin＝.[B组能力提升]1．若|cosθ|＝，<θ<3π，则sin的值是()A．－B.C．－D.解析：因为<θ<3π，|cosθ|＝，所以cosθ<0，cosθ＝－，因为<<，所以sin<0.因为sin2＝＝，所以sin＝－.答案：C2．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝()A.B.C．－D．－解析：先利用条件求出tanα，再利用倍角公式求tan2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sinαcosα＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－，所以tan2α＝＝－.答案：C3．已知方程x2－x＋1＝0的一个根是2＋，则sin2α＝________.解析：由题意可知(2＋)2－(2＋)＋1＝0，即8＋4－(2＋)＝0，所以(2＋)＝4(2＋)，所以sin2α＝.答案：4．设cos2θ＝，则cos4θ＋sin4θ的值是________．解析：cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝＋cos22θ＝＋×2＝.答案：5．已知向量p＝(cosα－5，－sinα)，q＝(sinα－5，cosα)，p∥q，且α∈(0，π)．(1)求tan2α的值；(2)求2sin2－sin.解析：(1)由p∥q，可得(cosα－5)cosα－(sinα－5)(－sinα)＝0，整理得sinα＋cosα＝.因为α∈(0，π)，所以α∈，所以sinα－cosα＝＝，解得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝－，所以tan2α＝＝.(2)2sin2－sin＝1－cos－sin＝1－cosα＋sinα－sinα－cosα＝1－cosα＝.6．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．解析：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωxcosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋λ＝2sin＋λ，且直线x＝π是f(x)的图象的一条对称轴，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝＋.又因为ω∈，所以ω＝，所以f(x)的最小正周期为.(2)y＝f(x)的图象经过点，所以f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，则f(x)＝2sin－，又x∈，则x－∈，所以函数f(x)在区间上的取值范围为[－1－，2－].
