3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（二）课后集训基础达标1.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值是（）A.-1B.C.D.解析：tan(β-2α)=tan［(β-α)-α］=,∴应选D.答案：D2.的值是（）A.-3B.3C.-D.解析：原式=.∴应选B.答案：B3.tan23°tan97°-tan23°-tan97°等于()A.2B.2C.D.0解析：原式=tan23°tan97°-(tan23°+tan97°)=tan23°tan97°-tan120°(1-tan23°tan97°)=tan23°tan97°+-tan23°tan97°=,∴应选C.答案：C4.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于（）A.2B.-2C.4D.-4解析：∵tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，∴tanA+tanB=,tanA·tanB=-.∵tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)==2.∴应选A.答案：A5.若0＜α＜,0＜β＜,且tanα=,tanβ=,则α+β等于（）A.B.C.D.解析：tan(α+β)===1.∵0＜α＜,0＜β＜,∴0＜α+β＜π.∴α+β=.∴应选B.答案：B6.tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=_______________.解析：原式=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+tan60°·tan30°·（1-tan20°tan10°)=tan10°tan20°+1-tan20°tan10°=1.答案：1综合运用7.等于（）A.1B.C.3D.-1解析：∵tan60°=3，∴原式==tan(60°-15°)=1.答案：A8.已知α+β=,则（1-tanα）(1-tanβ)的值等于（）A.2B.-2C.1D.-1解析：tan(α+β)=,∴tanα+tanβ=-(1-tanα·tanβ).∴(1-tanα)(1-tanβ)＝1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ=1+1-tanα·tanβ+tanα·tanβ=2.答案：A9.已知tan(α+)=3,则tanα＝____________________.解析：tanα=tan(α+-)=答案：拓展探究10.已知A、B、C是斜△ABC的内角，求证：（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)tantan+tantan+tantan=1.思路分析：(1)考虑到A、B、C是△ABC的内角，即A+B+C=π,利用tan(A+B)=tan(π-C);(2)考虑到+=-,利用tan(+)=tan(-).证明:(1)∵A、B、C是△ABC的内角，∴A+B+C=π,即A+B=π-C,由题知，A、B、C都不为,两边取正切，得tan(A+B)=tan(π-C).∴=-tanC.去分母，移项，整理，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)∵++=,∴+=-.∴tan(+)=tan(-).∴去分母，移项，整理，得tantan+tantan+tantan=1.备选习题11.当α=40°时，=____________.解析：原式=tan3α=tan3×40°=tan120°=-tan60°=-.答案：-12.已知sinα=,(90°＜α＜180°),cosβ=(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值.解：∵sinα=,90°＜α＜180°,∴cosα=-,∴tanα=.∵cosβ=,270°＜β＜360°,∴sinβ=-.∴tanβ=.∴tan(α+β)=.tan(α-β)==.13.求的值.解：原式====-tan60°=-.14.如下图所示，三个相同的正方形相接，试计算α+β+γ的大小.解：设正方形边长为1，则tanα=,tanβ=,tanγ=1,且α、β、γ均为锐角.∴tan(α+β)==而α+β∈(0,π),∴α+β=.又由tanγ=1及γ∈(0,)知γ=，∴α+β+γ=.15.已知△ABC中，tanB+tanC+tanB·tanC=,且tanA+tanB=tanA·tanB-1,试判断△ABC的形状.解:tanB+tanC+tanB·tanC=,∴,即tan(B+C)=.①又∵tanA+tanB=tanA·tanB-1,∴-.∴tan(A+B)=-.②又∵A、B、C为△ABC的内角，∴B+C=60°,A+B=150°.∴A=120°,B=C=30°.∴△ABC为等腰且为钝角三角形.16.设cosα=-,tanβ=,π＜α＜,0＜β＜.求α-β的值.解法1：∵π＜α＜,0＜β＜,∴＜α-β＜,于是选择α-β的正弦函数值.∵cosα=-,π＜α＜，∴sinα=-.∵tanβ＝,0＜β＜,∴cos2β=，即cosβ=,sinβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-×-(-)×=-.∵＜α-β＜,∴α-β=.解法2：以上同解法1.∵cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-×+(-)×=-.∵tanβ=＜1,∴0＜β＜.∴＜α-β＜.∴α-β=.解法3：∵cosα=-,π＜α＜,∴sinα=-.∴tanα==2.则tan(α-β)=∵π＜α＜,0＜β＜,∴＜α-β＜.∴α-β=.说明：本题选择正弦函数、正切函数都比较简单，因为这两个函数在α-β∈(,)上是单调的，即求得的角只有一个解，省去缩小角的范围的麻烦，而选择余弦函数，由于它在（,）上不单调，若不进一步缩小角的范围，就会产生增根.
