3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+(tan10°+tan20°)的值等于()A.B.1C.D.思路分析:∵，∴tan10°+tan20°=(1-tan10°·tan20°).∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1.答案:B2.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为()A.B.C.D.思路分析:由条件，得sin［(α-β)-α］=sin(-β)=-sinβ=m，∴sinβ=-m.又∵β为第三象限角，∴cosβ=.答案:B3.若tanθ=，则cos2θ-sin2θ的值等于()A.B.C.D.思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sinθcosθ，tanθ=，∴原式=.答案:C4.若tan(α+β)=，tan(β-)=，那么tan(α+)等于()A.B.C.D.思路分析:tan(α+)=tan［(α+β)-(β-)］.答案:B5.函数y=2sin(-x)-cos(+x),(x∈R)的最小值是__________.思路分析:y=2sincosx-2cossinx-coscosx+sinsinx=cosx-sinxcosx+sinx=cosxsinx=cos(x-).所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tanα=，tanβ=，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________.思路分析:∵tanβ=，∴tan2β=tan(β+β)=.又∵tanα=，∴tan(α+2β)=.答案:1综合•应用7.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=,sin(A-B)=，(1)求证：tanA=2tanB；(2)设AB=3，求AB边上的高.(1)证明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)=，∴.∴tanA=2tanB.(2)解：∵＜A+B＜π,sin(A+B)=,∴tan(A+B)=，即，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0.解之,得tanB=,舍去负值得tanB=.∴tanA=2tanB=.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=.由AB=3，得CD=.所以AB边上的高等于.8.重量为G的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得解得.要使F最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ.又tanα=μ，所以当φ=arctanμ时，F最小，最小值为Fmin==Gsinα=Gsinφ.9.tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根，试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有tanα+tanβ=3，tanα·tanβ=-3.所以tan(α+β)=.所以sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)〔分子、分母同时除以cos2(α+β)可得此式〕.10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1m，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt△POS中，PS=OP·sinα=sinα，OS=OP·cosα=cosα；在Rt△ROQ中，OR=QR·cot60°=QR=PS=sinα.RS=OS-OR=cosα-sinα.S矩形=PS·RS=(cosα-sinα)sinα=sinαcosα-sin2α.当α=30°时，上式有最大值，最大值为.回顾•展望11.(2006苏州统考)是否存在锐角α、β，使得①α+2β=，②tantanβ=2-同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=，②tantanβ=同时成立.由①得+β=，所以tan(+β)=.又tantanβ=，所以tan+tanβ=.于是tan、tanβ可以看成是方程x2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x1=1，x2=.若tan=1，则α=，这与α为锐角矛盾.所以tan=，tanβ=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°.12.(2006安徽高考)已知0＜α＜,sinα=,(1)求的值；(2)求tan(α-)的值.思路分析:化复角为单角，利用公式展开.解:(1)由0<α<,sinα=，得cosα=，所以.(2)∵tanα=，∴tan(α-)=.
