高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式同步优化训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

3.1.1两角差的余弦公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.cos345°的值等于()A.B.C.D.-解析：cos345°=cos(-15°+360°)=cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=.答案：C2.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值为()A.0B.C.D.解析：原式=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=.答案：B3.若sin(+α)=，α∈(，π)，则cos(-α)=____________________.解析：由诱导公式得sin(+α)=cosα=-，又α∈(，π)，所以sinα=.所以cos(-α)=coscosα+sinsinα=×(-)+×=.答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为()A.B.C.D.解：原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=.答案：B2.化简cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα得()A.cosαB.cosβC.cos(2α+β)D.sin(2α+β)解析：cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=cos(α+β-α)=cosβ.答案：B3.sin33°cos27°+sin57°cos63°=_________________.解析：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=.答案：4.已知cosα=，cos(α+β)=，且α、β∈(0，)，求cosβ的值.解：由于α、β∈(0，)，cosα=，cos(α+β)=，则sinα=.sin(α+β)=.所以cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+=.5.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求cos(α-β)的值.解：sinα+sinβ=①，①式平方得sin2α+2sinαsinβ+sin2β=；cosα+cosβ=②，②式平方得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.以上两式相加，得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，即2+2cos(α-β)=1，得到cos(α-β)=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.cos80°cos35°+cos10°cos55°的值为()A.B.C.D.解析：cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°)=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=.答案：A2.化简：=_______________________.解析：.答案：3.已知sinα=，cosβ=，求cos(α-β)的值.解：∵sinα=＞0，cosβ=＞0，∴α可能在第一、二象限，β可能在第一、四象限.若α、β均在第一象限，则cosα=，sinβ=，cos(α-β)=·+·=.若α在第一象限，β在第四象限，则cosα=，sinβ=-，cos(α-β)=·+·(-)=.若α在第二象限，β在第一象限，则cosα=-，sinβ=，cos(α-β)=(-)·+·=-.若α在第二象限，β在第四象限，则cosα=-，sinβ=-，cos(α-β)=(-)·+·(-)=-.4.已知cos(α-β)=-，cos(α+β)=，且(α-β)∈(，π)，(α+β)∈(，2π)，求cos2β的值.解：由cos(α-β)=-，cos(α+β)=，且(α-β)∈(，π)，(α+β)∈(，2π)，可得sin(α-β)=，sin(α+β)=，所以cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=-cos(α+β)·cos(α+β)+sin(α+β)·sin(α-β)=·(-)+()·=-1.5.化简：sinx+cosx.解：原式=(sinx+cosx)=(sin60°sinx+cos60°cosx)=cos(60°-x).6.已知：sinα+sinβ+sinγ=0，且cosα+cosβ+cosγ=0.求证：cos(α-β).证明：由已知可得sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ.两式平方相加得到2+2cos(α-β)=1，所以cos(α-β)=，得证.7.如图3-1-1的平面直角坐标系中，已知=(cos80°，sin80°)，=(cos20°，sin20°)，求||.若AB中点是C，那么||呢？图3-1-1解：=(cos20°-cos80°，sin20°-sin80°)，||=====1.可知△AOB是等边三角形，可求得||=.8.已知sinα+sinβ=，求cosα+cosβ的取值范围.解：由sinα+sinβ=，等式两边平方可知sin2α+2sinαsinβ+sin2β=.①设cosα+cosβ=m.平方可知，cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2.②①+②得sin2α+2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2+,整理，有m2=+2cos(α-β)，又由于cos(α-β)∈［-1，1］，所以m2∈［，］，即得0≤m2≤.解得≤m≤.9.已知0＜β＜,＜α＜，cos(-α)=,sin(+β)=，求sin(α+β)的值.解：∵＜α＜，∴-＜-α＜0.∴sin(-α)=-,又∵0＜β＜,∴＜+β＜π.∴cos(+β)=-.∴sin(α+β)=cos［-(α+β)］=-cos［+(α+β)］=-cos［(+β)-(-α)］=-［××()］=.快乐时光只到鸭子半身一个骑马过路的人来到一条他不熟悉的河边.他问一名少年这条河深不深.“不深.”男孩儿答道.骑马人就开始过河，但他很快就发现他和他的马要想活命就得游过去.当这个游客到达河对岸时，转过身喊道：“我想你是对我说河不深吧？”“不深，”孩子答道，“它仅能到我爷爷养的鸭子半身.”