课时作业19复数的三角表示式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是(B)A．1B．－1C．－D．－解析：∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，∴∴a＝－1，故选B.2．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是(AD)A．z＝2(cos＋isin)B．z＝2(cos－isin)C．z＝2(cosπ＋isin)D．z＝2(cosπ＋isin)解析：z＝3＋i＝2(＋i)＝2(cos＋isin)＝2(cos＋isin)，故选AD.3．设π<θ<，则复数的辐角主值为(B)A．2π－3θB．3θ－2πC．3θD．3θ－π解析：＝cos3θ＋isin3θ.∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，故选B.4．将复数4化成代数形式，正确的是(D)A．4B．－4C．4iD．－4i解析：4＝4[0＋i(－1)]＝－4i，故选D.5．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于(C)A．135°B．315°C．675°D．585°6．复数z满足＝1，复数z的辐角为30°，复数z的模为(A)A．1B．－1C．－D．－解析：设z＝r(cos30°＋isin30°)，代入r·(cos30°＋isin30°)－＝1，得r＝1.二、填空题7．复数z＝2的三角形式是2，复数z在复平面上对应的点位于第四象限．解析：z＝2＝2＝2；故z在复平面内所对应的点位于第四象限．8．复数的代数形式是－i.解析：＝cos－isin＝－i.9．已知复数z满足z－2iz＝3－2ai(a∈R)，且
0)，∴＝＝＝，即3r2－4r＋4＝0.解得r＝，∴z＝1＋i.——能力提升类——12．把下列复数转化为三角形式．(1)－1；(2)2i.解：(1)r＝＝1，辐角主值为θ＝arg(－1)＝π，所以－1＝cosπ＋isinπ.(2)r＝＝2，辐角主值为θ＝arg(2i)＝，所以2i＝2(cos＋isin)．13．已知复数z的模为2，实部为，求复数z的代数形式和三角形式．解：方法一：由题，可设z＝＋bi(b∈R)．∵|z|＝2，∴＝2，解得b＝±1，∴z＝＋i或z＝－i.化为三角形式，得z＝2或z＝2.方法二：由题，可设z＝2(cosθ＋isinθ)(0≤θ≤2π)．∵复数z的实部为，∴2cosθ＝，即cosθ＝，∴θ＝或，∴z＝2或z＝2.化为代数形式，得z＝＋i或z＝－i.14．已知复数z1＝cosθ－isinθ，z2＝sinθ－icosθ，当θ∈[0,2π)，求arg(z1－z2)的值．解：z1－z2＝(cosθ－sinθ)＋(cosθ－sinθ)i＝2cos(θ＋)＋2icos(θ＋)＝2cos(θ＋)(cos＋isin)．(1)cos(θ＋)>0，即θ∈[0，)∪(，2π)，arg(z1－z2)＝.(2)cos(θ＋)＝0，即θ＝，，arg(z1－z2)∈[0,2π)．(3)cos(θ＋)<0，即θ∈(，)，arg(z1－z2)＝.15．若z∈C，|z－2|≤1，求|z|的最大值，最小值和argz范围．解：如图，由|z－2|≤1，知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z|表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z|≤3，∴|z|max＝3，|z|min＝1，另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|＝1，|OC|＝2知∠AOC＝∠BOC＝，∴argz∈[0，]∪[π，2π)．
