7.3.3余弦函数的性质与图像课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=cos(4x+π3)的图像的两条相邻对称轴间的距离为()A.π8B.π4C.π2D.π解析y=cos(4x+π3)的最小正周期T=2π4=π2.其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为d=T2=π4.答案B2.函数y=3cos2x+4是()A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为2π的奇函数解析T=2π|ω|=π,f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos2x+4=f(x),所以函数的最小正周期为π,是偶函数,故选A.答案A3.若f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f(t+π4)=f(-t),且f(π8)=-1,则实数m=()A.±1B.±3C.-3或1D.-1或3解析 f(t+π4)=f(-t)对任意t成立,∴f(x)关于x=π8对称.∴f(π8)=m±2=-1,∴m=-3或m=1.答案C4.函数y=-cos(x2-π3)的单调递增区间是()A.[2kπ-4π3,2kπ+2π3](k∈Z)B.[4kπ-4π3,4kπ+2π3](k∈Z)C.[2kπ+2π3,2kπ+8π3](k∈Z)D.[4kπ+2π3,4kπ+8π3](k∈Z)解析令2kπ≤x2−π3≤2kπ+π,k∈Z,则4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3,k∈Z.故该函数的递增区间为[4kπ+2π3,4kπ+8π3],k∈Z.答案D5.同时具有性质“①最小正周期是π;②图像关于直线x=π3对称;③在[-π6,π3]上是减函数”的一个函数是()A.y=sin(x2+π6)B.y=cos(2x+π3)C.y=sin(2x-π6)D.y=cos(2x-π6)答案B6.函数y=sin2x-cosx+1的最大值为.解析y=sin2x-cosx+1=-cos2x-cosx+2=-cosx+122+94. -1≤cosx≤1,∴当cosx=-12时,ymax=94.答案947.(双空)函数y=log12(cosx)的定义域是.函数y=log12(cos2x+2cosx+1)的值域为.解析函数y=log12cosx有意义,则cosx>0,由余弦函数y=cosx的图像可知,当2kπ-π20,故函数y=log12cosx的定义域为x2kπ-π20时,-b≤-bcosx≤b,∴a-b≤a-bcosx≤a+b.∴{a+b=32,a-b=-12,解得{a=12,b=1.∴y=-4bsinax=-4sin12x.最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.当b<0时,b≤-bcosx≤-b,∴a+b≤a-bcosx≤a-b.∴{a-b=32,a+b=-12,解得{a=12,b=-1.∴y=-4bsinax=4sin12x.最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.9.已知函数y=12cosx+12|cosx|.(1)画出函数的简图.(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.(3)指出这个函数的单调增区间.解(1)y=12cosx+12|cosx|={cosx,x∈[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z),0,x∈(2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z).函数图像如图.(2)由图像可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.(3)由图像可知函数的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ](k∈Z).能力提升1.若把函数y=3cos2x+π3的图像上的所有点向右平移m(m>0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是()A.23πB.π3C.π6D.π12解析y=cos2x+π3y=3cos2x+π6-m.因为图像关于y轴对称,所以当x=0时,2×0+π3-2m=kπ(k∈Z),m=π6−kπ2(k∈Z),当k=0时,m=π6,故选C.答案C2.下列四个函数中,既是(0,π2)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是()A.y=|sinx|B.y=|sin2x|C.y=|cosx|D.y=cos2x答案A3.三个数cos32,sin110,-cos74的大小关系是()A.sin110>cos32>-cos74B.cos32>-cos74>sin110C.cos3232>π2−110>π-74>0,而y=cosx在[0,π]上单调递减,所以cos320,函数f(x)=cosπ4-ωx在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是()A.(0,2]B.0,12C.12,34D.12,54解析令t=π4-ωx,则函数f(x)=cosπ4-ωx,由y=cost及t=π4-ωx复合而成,因为ω>0,所以t=π4-ωx为减函数,要使得函数f(x)=cosπ4-ωx在π2,π上单调递减,则y=cost必须递增,令-π+2kπ≤t≤2kπ(k∈Z),即-π+2kπ≤π4-ωx≤2kπ(k∈Z),解得π4ω−2kπω
