第一章1.5第1课时一、选择题1.下列说法正确的是(D)A.梯形是不是平面图形呢?是命题B.语句“标准大气压下,100℃时水沸腾”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题[解析]对于A,是疑问句,不是命题,不正确;B所给语句是命题,不正确;满足C的不一定是菱形,不正确;D说法正确.故选D.2.下列语句是真命题的个数是(A)①一个正整数不是素数就是合数;②若x+y和xy都是有理数,则x,y都是有理数;③60x+9>4;④若x∈N,则x2+4x+7>0.A.1B.2C.3D.4[解析]①该语句是命题.由于整数1不是素数,也不是合数,所以它是假命题;②该语句是命题.+(-)和×(-)都是有理数,但,-都是无理数,所以它是命题且是假命题;③这种含有未知数的语句中,不等式是否恒成立无法确定,即不能判断其真假,所以它不是命题;④因为当x∈N时,x2+4x+7>0恒成立,所以该语句是命题,且是真命题.故选A.3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B)A.直角三角形的内角有一个是90°B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数,使>2[解析]A是全称量词命题;B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题.故选B.4.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是(D)A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2[解析]全称量词命题含有量词“∀”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对于全体实数都成立.故选D.二、填空题5.给出下列四个命题:①∀x∈R,x2+3>0;②∀x∈N,x4≥1;③∃x∈Z,x3<1;④∃x∈Q,x2=3.其中是真命题的是__①③__(把所有真命题的序号都填上).[解析]①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+3≥3>0,即x2+3>0,所以命题“∀x∈R,x2+3>0”是真命题;②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,是假命题;③由于-1∈Z,当x=-1时,x3<1成立,是真命题;④由于使x2=3成立的数只有±,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方等于3,是假命题.6.下列命题:①存在x<0,使|x|>x;②对于一切x<0,都有|x|>x;③不存在实数x,使x2+x+1<0;④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N*,都有A∩B=∅.其中,所有正确命题的序号为__①②③__.[解析]命题①②显然为真命题;③由于对于∀x∈R,x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,故③为真命题;已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},如n=1,2,3时,6∈(A∩B),故为假命题.三、解答题7.用符号“∀”或“∃”表示下列命题,并判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.[解析](1)∀x∈R,x2≥0,是真命题.(2)∃x∈R,y∈R,使2x-y+1<0,是真命题.B组·素养提升一、选择题1.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使命题“∀a∈M,a∉A”为真命题的集合M是(D)A.{a|a≥-3}B.{a|a>-3}C.{a|a≤-3}D.{a|a<-3}[解析]因为x+3≥0,所以A={x|x≥-3}.又因为对∀a∈M,都有a∉A,所以a<-3.故选D.2.(多选题)给出下列命题,其中真命题有(AB)A.存在x<0,使|x|>xB.对于一切x∈Z,都有|x|∈NC.存在x<0,使|x|≤xD.已知a=2n,b=3n,则存在n∈N*,使得a=b[解析]易知选项A、B为真命题;C中命题当x<0时,|x|>x,所以C为假命题;D中,“存在n∈N*,使得a=b”的否定是“对于任意的n∈N*,都有a≠b”,由于a-b=2n-3n=-n,所以对于任意的n∈N*,都有a,故a≥1.三、解答题5.已知命题p:∃x≥-,2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.[解析]因为p为真命题,即方程2x+2-a=0,在x>-范围内有实根,所以a=2x+2≥2×(-)+2=1,∴a≥1,即实数a的取值范围为a≥1.