课时作业15余弦定理、正弦定理应用举例知识点一距离问题1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为()A.B.C.D.答案B解析在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.2．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________．答案(12－4)海里解析如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°.∴PA＝＝＝4(－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8.于是PQ＝AQ－PA＝12－4，∴两灯塔的距离为(12－4)海里．3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得＝，∴BC＝·sin15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝·＝(km).知识点二测量高度问题4.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为()A．500mB．200mC．1000mD．1000m答案D解析 ∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1000(m)，∴BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000(m)．5．甲，乙两楼相距20m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案20m，m解析如图所示：在△ABD中，由正弦定理得＝，所以h甲＝AB＝20·＝20(m)，在△AED中，由正弦定理得＝，ED＝20(m)，在△AEC中，由正弦定理得＝，EC＝(m)，所以h乙＝CD＝ED－EC＝(m).知识点三测量角度问题6.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇．答案北偏东30°解析如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝atnmile，AC＝atnmile，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝. 0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．7．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解连接BC.在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20海里．由正弦定理＝，得sin∠ACB＝sin∠BAC＝. ∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝.∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝×－×＝.易错点忽略审题环节，看图不准确致误8.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．易错分析在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推，首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．答案a正解解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，所以BD＝CD·＝a·＝a，在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2·a·a·＝a2，所以AB＝a.解法二：在△BCD中，...
