课时作业5向量的数量积(1)知识点一向量夹角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．答案90°解析如图，作向量OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形． OC＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，OC⊥BA，∴a＋b与a－b的夹角为90°.2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|AB|＝，|CB|＝1，则AC与CB的夹角θ＝________.答案120°解析在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，CB＝1，所以tan∠ACB＝＝，所以∠ACB＝60°，即CB与CA的夹角为60°，所以AC与CB的夹角为120°.知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A.B.C．1＋D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×＝.4．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.答案－6解析由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.知识点三投影向量5.已知等边△ABC的边长为2，则向量AB在向量CA方向上的投影向量为()A．－CAB.CAC．2ACD．2CA答案A解析在等边△ABC中， ∠A＝60°，∴向量AB在向量AC方向上的投影向量为AC，∴向量AB在向量CA方向上的投影向量为－CA.故选A.6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝()A．4B．3C．2D．1答案D解析设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，则|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为，则e在a方向上的投影向量的模为________．答案解析 a与e的夹角θ＝，∴e在a方向上的投影向量的模为||e|·cosθ|＝.知识点四平面向量数量积的性质及运算律8.给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；|a·b|＝|a|b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤错误．9．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是()A．0B.C．2D．3答案D解析由向量内积性质知|a·b|≤|a||b|＝2.故选D.10．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．答案解析设BD＝a，DF＝b，则BA·CA＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF·CF＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则BE·CE＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.知识点五平面向量数量积的应用11.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12答案C解析 a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.故选C.12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2B.C.D.答案D解析设|BD|＝x，则|BC|＝x，AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD＝|BC||AD|cos∠ADB＝x·1·＝.13．设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6答案C解析如图所示，由题设知：AM＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，所以AM·NM＝·＝|AB|2－|AD|2＋AB·AD－AB·AD＝×36－×16＝9.易错点求夹角时忽略向量的方向致误14.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________．易错分析本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B即为向量b与c的夹角．答案150°正解由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，则b与c的夹角为150°.一、选择题1．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为()A．－5B．5C．－5D．5答案D解析a在b方向上的投影向量的模为||a|·cos150°|＝5.2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则AB·BC的值为()A．...
