3.1.3两角和与差的正切课时跟踪检测[A组基础过关]1．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan等于()A．3B.－3C.D.－解析：a∥b，则tanα＝－，∴tan＝＝－3.答案：B2．已知＝2＋，则tan的值为()A．2＋B.1C．2－D.解析：tan＝＝＝2－，故选C.答案：C3．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，且0<α<，π<β<，则α＋β的值为()A.B.C.D.解析：由韦达定理得tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝1，又π<α＋β<2π，故α＋β＝.答案：C4．在△ABC中，若00，tanB>0，∴∠A，∠B都是锐角，tanC＝－tan(A＋B)＝－<0，∴∠C为钝角，故选A.答案：A5．已知sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，那么tanβ的值为()A.B.－C．7D.－7解析：∵α是第二象限角，sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝－7.故选D.答案：D6．(2017·江苏卷)若tan＝，则tanα＝________.解析：tanα＝tan＝＝＝.答案：7．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________.解析：原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋tan30°[1－tan(18°－x)tan(12°＋x)]＝1.答案：18．已知tanα＝，tanβ＝，求tan(α＋2β)的值．解：∵tan2β＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝1.[B组技能提升]1．若A，B是△ABC的内角，并且(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则A＋B等于()A.B.C.D.解析：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2得：1＋tanA＋tanB＋tanA·tanB＝2，所以tanA＋tanB＝1－tanA·tanB.由tan(A＋B)＝＝＝1，又∵0＜A＋B＜π，可得A＋B＝.答案：A2．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为()A．16B.8C．4D.2解析：(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan45°(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°＝2.同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，∴原式＝4，故选C.答案：C3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．解析：由韦达定理得∴tan(A＋B)＝＝＝.在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．答案：钝角4．设tan(α＋β)＝，tanβ－＝，则tan的值等于________．解析：tan＝tan＝＝＝.答案：5．下图是由三个小正方形并在一起构成的长方形，求其中α＋β的大小．解：设一个小正方形的边长为1.则tanα＝，tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.6．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
