课时作业(十九)平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算A组基础巩固1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1B．1，－2C．2，－1D．－1,2解析：由解得故选D.答案：D2.已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，则点P的坐标为()A．(－8,1)B.C.D．(8，－1)解析：设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，∴x＝－1，y＝－，故选C.答案：C3.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD等于()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析：∵AC＝AB＋AD，∴AD＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝(－3，－5)，故选B.答案：B4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A．(－7,0)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)解析：设D(x，y)，由AD＝BC，∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，故选D.答案：D5．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)}B．{(－1,1)}C．{(1,0)}D．{(0,1)}解析：设a＝(x，y)，则P＝{x，y|}，∴集合P是直线x＝1上的点的集合．同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}．∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.答案：A6.在平行四边形ABCD中，AB＝(2,0)，AC＝(1,5)，则AD等于()A．(1，－5)B．(－1,5)C．(3,5)D．(－5,1)解析：AD＝AC－AB＝(1,5)－(2,0)＝(－1,5)，故选B.答案：B7.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ的值是__________．解析：由题意，知OA＝(1,0)，OB＝(0,1)．设C(x，y)，则OC＝(x，y)．∵OC＝λOA＋μOB，∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)．∴又∵∠AOC＝，OC＝2，∴λ＝x＝2cos＝，u＝y＝2sin＝1，∴λ＋μ＝＋1.答案：＋18．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则x＋y＝__________.解析：∵AC＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又2BD＝AC，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，∴解得∴x＋y＝.答案：9．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝__________.解析：∵A(1,2)，B(3,2)，∴AB＝(2,0)．又∵a＝AB，它们的坐标一定相等．∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)，∴∴x＝－1.答案：－1110．已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0,6)、C(－8,10)，求向量AB＋2BC－AC的坐标．解析：AB＝(－2,10)，BC＝(－8,4)，AC＝(－10,14)．∴AB＋2BC－AC＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．B组能力提升11．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于()A．{(1,2)}B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．答案：C12．已知A(2,3)，B(1,4)，且AB＝(sinα，cosβ)，α、β∈，则α＋β＝__________.解析：∵AB＝(－1,1)＝＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－且cosβ＝，∴α＝－，β＝或－.∴α＋β＝或－.答案：或－13．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD.解析：∵AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)，∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，∴∴∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.14．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试求t为何值时，(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第一象限．解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴OA＝(1,2)，AB＝(3,3)．∴OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－；(3)若点P在第一象限，则∴t＞－.15.已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．(1)证明：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(3,5)成立的向量c.解析：(1)证明：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则f(ma＋nb)＝f(mx1＋nx2，my1＋ny2)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，又因为mf(a)＝(my1,2my1－mx1)，nf(b)＝(ny2,2ny2－nx2)，所以mf(a)＋nf(b)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．(2)f(a)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，由，得.所以c＝(1,3)．2
