2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用课后拔高提能练一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2解析：选D由k＝，知＝－，解得m＝－1或m＝2.故选D．2．设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若(DB＋DC＋2AD)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选A由题意，有[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝0，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，∴AB2－AC2＝0，∴|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰三角形．故选A．3．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为()A．B．13C．6D．解析：选D∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0，AP·BC＝(λAB＋AC)(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝λ×2×3×－4λ＋9－2×3×＝－7λ＋12，∴－7λ＋12＝0，∴λ＝，故选D．4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于()A．－B．－C．D．解析：选A如图，由题知，PB＋PC＝2PM，PA·(PB＋PC)＝PA·2PM，∵|AM|＝1，∴|PA|＝，|PM|＝，∴PA·(PB＋PC)＝PA·2PM＝－××2＝－.故选A．5．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：选D由题意得f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．6．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，若BQ·CP＝－2，则λ＝()A．B．C．D．2解析：选B解法一：由已知条件可知，BQ＝BA＋AQ，CP＝CA＋AP，∴BQ·CP＝(BA＋AQ)·(CA＋AP)＝BA·CA＋BA·AP＋AQ·CA＋AQ·AP＝0＋BA·λAB＋(1－λ)AC·CA＝－λ|AB|2－(1－λ)|AC|2＝－λ－4(1－λ)，而BQ·CP＝－2，∴－λ－4(1－λ)＝－2，解得λ＝，故选B．解法二：以A为坐标原点，AB为x轴正半轴建立坐标系，如图所示，则B(1,0)，C(0,2)，设P(x,0)，Q(0，y)．由AP＝λAB，∴(x,0)＝λ(1,0)，∴P(λ，0)．由AQ＝(1－λ)AC，∴(0，y)＝(1－λ)(0,2)，∴Q(0,2－2λ)．由BQ·CP＝－2，得(－1,2－2λ)·(λ，－2)＝－2.即－λ－4＋4λ＝－2.∴λ＝.故选B．二、填空题7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC中点，则AE·BD＝________.解析：AE·BD＝(AD－AB)＝AB·AD－AB2＋AD2－AD·AB＝2×2×－4＋×4－×2×2×＝－1.答案：－18．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|＝2，则OC＝________.解析：OC＝λ＝λ＝λ－，，λ>0，∴|λ|·＝2，∴λ＝，∴OC＝.答案：9．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD＝0，则点A的横坐标为________．解析：设A(a,2a)(a>0)，则由圆心C为AB中点得C.易得⊙C：(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0，与y＝2x联立解得点D的横坐标xD＝1，所以D(1,2)．所以AB＝(5－a，－2a)，CD＝，由AB·CD＝0得(5－a)＋(－2a)(2－a)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，因为a>0，所以a＝3.答案：3三、解答题10.如右图所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．用向量法证明：AC⊥BD.证明：证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，又四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0，∴AC⊥BD，∴AC⊥BD.证法二：如右图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则BA＝(a，b)，BC＝(c,0)，由|BA|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0，∴AC⊥BD，即AC⊥BD.11．如右图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．解：设P点坐标为P(x，y)，则OP＝(x，y)，而OB＝(4,4)．∵OP与OB共线，∴4x－4y＝0.①又∵AP＝(x－4，y)，AC＝(2－4,6－0)＝(－2,6)，且AP与AC共线，∴6(x－4)－(－2)y＝0，即3x＋y＝12.②由①②解得故P点的坐标是(3,3)．12．在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解：设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如右图所示．∴vb、va、ω构成三角形．设|AB|＝|va|，|CB|＝|ω|，|AC|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°.设|AB|＝150，则|CB|＝75(－)．∴|CD|＝|BE|＝|EA|＝75，|DA|＝75.从而|AC|＝150，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150km/h，方向为北偏西60°.
