课时作业(六)球的体积和表面积A组基础巩固1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.πB.C．4πD．32π解析：由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.答案：C2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为()A.πB．4πC．4πD．6π解析：如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π()3＝4π.答案：B3．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为()A．18πB．30πC．33πD．40π解析：由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.答案：C4．表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A.B.C.D.解析：本题考查半球的内接正四棱锥．设正八面体的棱长为a，球的半径为R，则a＝R，又正八面体的表面积S正八面体＝8×a×a＝2，得a＝1，则R＝，于是V球＝×3＝，故选A.答案：A5.两个半径为1的铁球，融化后铸造成一个大球，则这个大球的半径为()A.B.C．2D.解析：本题考查球的体积的求法．设大球的半径为r，则π×2＝πr3，所以r＝，故选B.答案：B6.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为()1A.πB.πC.πD.π解析：由三视图可知，该几何体是由一个圆锥与一个球的组合体．圆锥的底面半径与球的半径均为1，圆锥的高为＝，∴该几何体的体积V＝π×12×＋π×13＝π.答案：A7.已知某一个多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示．且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：球是棱长为2的正方体的外接球，则球的直径d＝＝2，所以球的表面积为S＝4πR2＝πd2＝12π.答案：12π8．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与球的半径都为2，则圆柱的表面积为________．解析：本题考查圆柱与球的组合体问题以及圆柱表面积的求法．由题意可知圆柱的母线长为2＝2，即圆柱的高为2，故圆柱的表面积为2π×12＋2π×1×2＝2π＋4π.答案：2π＋4π9．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4cm.答案：410．如图，正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP－ABCD＝，则球O的表面积是多少？解析：如图，正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，∴PO⊥底面ABCD，PO＝R，SABCD＝2R2，VP－ABCD＝，2所以·2R2·R＝，解得：R＝2，球O的表面积：S＝4πR2＝16π.B组能力提升11．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.B．19πC．14πD．7π解析：本题考查空间几何体的三视图以及球的表面积的求法．该三棱锥可以看作是一个长、宽、高分别为3,1,2的长方体的一部分，且长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径(记为2R)，故4R2＝32＋12＋22＝14，所以球的表面积为4πR2＝14π，故选C.答案：C12．若一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．解析：如图，把四面体ABCD补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R＝，球的表面积S＝4πR2＝3π.答案：3π13．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)解析：如下图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧3＝πR2＋πR2＝πR2.故...
