点到面的距离和线面角（答题时间：40分钟）**1.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________。**2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________。**3.△ABC的三条边长分别是5、12、13，△ABC所在平面外一点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为________。*4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________。**5.如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，AC＝a，则直线PC与底面ABCD所成角的大小为________。*6.正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________。**7.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45°。（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBC的距离。**8.如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DF垂直平分SC于点F且交AC于点D，若SA＝AB，SB＝BC，求BF与平面SAC所成的角的余弦值。***9.已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2。求：（1）点Q到直线BD的距离；（2）点P到平面BQD的距离。1.解析：依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为A1C1到底面ABCD的距离，B1B＝。2.30°解析：作BD⊥AC于点D，连接C1D，则BD⊥平面ACC1A1，∴∠BC1D为所求，sin∠BC1D＝＝＝，∴∠BC1D＝30°。3.解析：如图，由P到三个顶点距离相等，可知，P在△ABC中的射影为△ABC的外心，又△ABC为直角三角形，∴P到平面ABC的距离为h＝PD＝＝。4.（1）45°（2）30°（3）90°解析：（1）由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°；（2）连接A1D、AD1，交点为O，则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°；（3）∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，AB1∩B1C1＝B1，∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°。5.45°解析：∵PA＝AB＝a，PB＝a，即PA2＋AB2＝PB2，∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，又AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD，则∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，∵AC＝a，∴∠PCA＝45°。6.解析：作A1E⊥AD1于点E，则A1E⊥平面ABC1D1，且点E为AD1的中点，sin∠A1C1E＝＝。7.（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC；（2）解：如图，过点A作AD⊥PC于点D，∵BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，又PC∩BC＝C，∴AD⊥平面PBC，∴AD即为点A到平面PBC的距离，∴依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角，即∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝.∵AD·PC＝PA·AC，∴AD＝＝，即点A到平面PBC的距离为。8.解：∵SB＝BC，F为SC的中点，∴SC⊥BF又∵SC⊥DF，且DF∩BF＝F，∴SC⊥平面BDF，∴SC⊥BD.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面ASC，∴∠BFD就是BF与平面SAC所成的角，在Rt△SAB中，不妨设AS＝AB＝a，则SB＝a，∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，在Rt△SBC中，又∵SB＝BC＝a，则SC＝2a，∴BF＝SC＝a，在Rt△ABC中，AB＝a，BC＝a，∴AC＝a，由AC×BD＝AB×BC，∴BD＝a，在Rt△BFD中，sin∠BFD＝＝＝，∴cos∠BFD＝＝，即BF与平面SAC所成角的余弦值为。9.解：如图，过点A作AH⊥BD于点H，连接QH，（1）∵PA⊥平面ABCD，∴QA⊥BD∵QA⊥BD，BD⊥AH，QA∩AH＝A，∴BD⊥平面AHQ，∴BD⊥QH，∴QH即为Q点到直线BD的距离，在Rt△BAD中，BA＝3，AD＝4，∴BD＝5，∴AH＝，在Rt△QAH中，QH＝＝＝，∴点Q到直线BD的距离为；（2）如图，连接DQ、BQ，∵PA和平面BQD相交于Q点，且Q是PA的中点，∴点P到平面BQD的距离即为点A到平面BQD的距离，在平面AQH内过点A作AE⊥QH，交QH于点E，由（1）BD⊥平面AHQ，AE⊂平面AHQ，∴AE⊥BD，又QH∩BD＝H，∴AE⊥平面BDQ，则AE即为点A到平面BQD的距离，在Rt△QAH中，AE＝＝＝，即点P到平面BQD的距离为。
