1.2.3第二课时直线与平面垂直[学业水平训练]1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．答案：24．如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.答案：平行5.如图，边长为2的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为，则AD与α所成的角为________．解：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，∴∠ADE＝30°.答案：30°6．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.而在②中AB与CD成60°角，在③中AB与CD成45°角．在④中AB与CD所成角的正弦值为.答案：①7．若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，求A到α的距离．解：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH为AB与α所成角，即∠ABH＝45°.在Rt△ABH中，AH＝ABsin45°＝3.∴A到α的距离为3.8．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图，过A作AO⊥平面BCD于O，则AO⊥CD.连结OB，OC，∵AB⊥CD，AO∩AB＝A，∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD.同理得CO⊥BD，∴O是△BCD的垂心．连结DO并延长交BC于M，则DM⊥BC，而AO⊥BC，AO∩DM＝O，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD.[高考水平训练]1.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点Q只有一个．故BC＝2AB＝2，即a＝2.答案：22．正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，又正△ABC边长为a，∴DH＝a，∴BH＝＝a.答案：a3.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，且PG⊥平面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连结BD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.∵PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.(2)如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC.∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，又EF⊥PC，BC⊥平面PDC，则EF⊥BC，又BC∩PC＝C，∴EF⊥平面PBC，∴EF即为E到平面PBC的距离，又∵AE∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE＝AB＝2，又∵PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，∠PCD＝45°，∴EF＝，即点A到平面PBC的距离为.
