高中数学4.5.3利用坐标计算数量积同步练习湘教版必修21．已知a＝(3,4)，b＝(－2，－1)，则(a－b)·(a＋2b)等于()A．5B．10C．15D．202．已知向量n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为()A．(b，－a)B．(－a，b)C．(－a，b)或(a，－b)D．(b，－a)或(－b，a)3．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为()A．B．C．D．－44．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°5．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)6．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________.7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.8．已知a＝(3,0)，b＝(k,5)，且a与b的夹角为，则k的值为__________．9．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．(1)用k表示数量积a·b；(2)若a·b＝(|a|＋|b|)，求k的值．10．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值．参考答案1.答案：A解析：(a－b)·(a＋2b)＝(5,5)·(3－4,4－2)＝(5,5)·(－1,2)＝－1×5＋2×5＝5.2.答案：D3.答案：A解析：依题意得解得所以m＋n＝.4.答案：C解析：依题意得a＋b＝(－1，－2)．设c＝(x，y)，而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝，.∴a与c的夹角为120°.5.答案：C解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)，故选C．6.答案：解析：设b＝(m，n)，由a·b＝5，得4m－3n＝5.①又∵|b|＝1，∴m2＋n2＝1.②由①②，可得(5n＋3)2＝0，∴.∴.∴b＝.7.答案：解析：a＝(2,0)，故|a|＝2，|a＋2b|＝.∵a·b＝|a||b|cos60°＝1，∴|a＋2b|＝.8.答案：解析：依题意得，即，解得(舍去)．9.解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝1，|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴.(2)由(1)知|a|＝1，|b|＝1，所以，即2k2＋2＝5k，解得k＝2或.即k的值等于2或.10.(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，∴AB⊥AD．(2)解：∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．又∵＝(1,1)，∴解得∴点C的坐标为(0,5)．∴＝(－2,4)．又＝(－4,2)，∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.设与的夹角为θ，则.故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.
