【优化指导】2015年高中数学2.5平面向量应用举例课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量在物理中的应用1、3、59向量在几何中的应用6、7、10综合运用2、48111．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A.B．2C.D.解析：F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，∴|F1＋F2|＝＝.答案：C2．在△ABC中，若(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，则△ABC为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定解析：∵(CA＋CB)·(CA－CB)＝CA2－CB2＝|CA|2－|CB|2＝0，∴|CA|2＝|CB|2.故|CA|＝|CB|.△ABC为等腰三角形．答案：C3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：作OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OC＝OA＋OB，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°.从而∠AOB＝120°.答案：D4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB·AC＝________.解析：由已知得A(1,0)，C(0,1)，∴AB＝(0,1)，AC＝(－1,1)．∴AB·AC＝1.答案：15．一个重20N的物体从倾斜角为30°，斜面上1m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：W＝F·s＝|F|·|s|·cosθ＝20×1×cos60°＝10J.答案：10J6．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，点RA＝2AP，求点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，R(x1，y1)，则RA＝(1－x1，－y1)，AP＝(x－1，y)．由RA＝2AP得(1－x1，－1y1)＝2(x－1，y)，即代入直线l的方程得y＝2x.所以，点P的轨迹方程为y＝2x.7．已知，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.证明：证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0.∴AC⊥BD，即AC⊥BD.证法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，即AC⊥BD.8．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO＝(AB＋AC)，且|OA|＝|AB|，则BA·BC等于________．解析：设BC的中点是D，如图所示，则AB＋AC＝2AD，则AD＝AO，所以O和D重合．所以BC是圆O的直径．所以∠BAC＝90°.又|OA|＝|AB|，则|BA|＝1，|BC|＝2，所以∠ABC＝60°，所以BA·BC＝|BA||BC|cos60°＝1×2×＝1.答案：19.如图所示，用两根分别长5m和10m的绳子将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5m，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，∴解得|Fa|＝150－50，故A处受力的大小为(150－50)N.10.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BE∶EC.解：设BA＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos60°＝1，BD＝a＋b.设BE＝λBC＝λb，则AE＝BE－BA＝λb－a.由AE⊥BD，得AE·BD＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝，∴BE∶EC＝∶＝2∶3.11.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位2于城市O(如图所示)的东偏南θcosθ＝，θ∈(0°，90°)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：设t小时后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.∵OQ＝OP＋PQ，∴OQ2＝(OP＋PQ)2＝OP2＋PQ2＋2OP·PQ.∴OQ2＝OP2＋PQ2－2|OP||PQ|cos(θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×＝100(4t2－96t＋900)．依题意得OQ2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24，从而12h后该城市开始受到台风的侵袭．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的运算获得几何命题的证明．2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.3
