第二章2.22.2.2第一课时对数函数及其性质基础巩固一、选择题1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A．{x|x＞－1}B．{x|x＜1}C．{x|－1＜x＜1}D．Ø[答案]C[解析]由题意各M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故选C.2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是()A．RB．[0，＋∞)C．(－∞，1]D．[0,1][答案]D[解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[答案]B[解析]∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B.4．若函数y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过(－1,0)和(0,1)两点，则()A．a＝2，b＝2B．a＝，b＝2C．a＝2，b＝1D．a＝，b＝[答案]A[解析]∵函数y＝loga(x＋b)过(－1,0)，(0,1)两点，∴这两点满足y＝loga(x＋b)，∴解得a＝b＝2，故选A.5．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为()A．－1B.C．－1或D．1或－[答案]C[解析]当a＞0时，log2a＝，则a＝2＝；当a≤0时，2a＝，即2a＝2－1，则a＝－1.综上，a＝－1或.6．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2015)的值为()A．－4B．－2C．0D．2[答案]C[解析]f(x)＋f()＝alog2x＋blog3x＋2＋alog2＋blog3＋2＝4，∴f(2015)＋f()＝4，又f()＝4，∴f(2015)＝0.二、填空题7．函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________．[答案](2,2)[解析]当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过定点(2,2)．8．(2015·琼海高一检测)设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2015)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．[答案]16[解析]f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋…＋logax＝loga(xx…x)＝2loga(x1x2…x2015)＝2f(x1x2…x2015)＝2×8＝16.三、解答题9．求下列函数定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．[分析](1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.[解析](1)由得x＞2且x≠3，∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)由即解得－1＜x＜0或0＜x＜2.∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．10．已知f(x)＝lg.x∈(－1,1)若f(a)＝，求f(－a)．[解析]方法1：∵f(－x)＝lg＝lg()－1＝－f(x)，∴f(－a)＝－f(a)＝－.方法2：f(a)＝lg，f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－.能力提升一、选择题1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)等于()A．logxB．log2xC.D．x2[答案]A[解析]由题意知f(x)＝logax，又f()＝a，∴loga＝a，∴a＝，∴f(x)＝logx，故选A.2．函数y＝log2|x|的大致图象是()[答案]D[解析]当x＞0时，y＝log2x＝log2x，即可排除选项A、B、C，故选D.3．(2015·黑龙江鹤岗一中期中)已知函数f(x)＝则f(f())的值是()A．9B.C．－9D．－[答案]B[解析]∵＞0，∴f()＝log3＝－2，∴f(f())＝f(－2)＝3－2＝.4．(2015·广西桂林中学段考)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是()A．(0,1)B．(0，)C．[，)D．[，1)[答案]C[解析]由题意得∴≤a＜.二、填空题5．(2015·湖北荆门龙泉中学期末)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是________．[答案]{x|－＜x＜1}[解析]依题意得解得－＜x＜1，故函数的定义域为{x|－＜x＜1}．6．函数y＝loga的图象恒过定点P，则P点坐标为________．[答案](－2,0)[解析]对一切a∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＝－2时，loga＝0，∴P点坐标为(－2,0)．三、解答题7．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．[解析]∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg(1－x)．又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝∴f(x)的大致图象如图所示：8．设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)．证明：ab＜1.[证明]作出函数f(x)＝|lgx|的图象，如图所示．∵0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，∴a＞1，b＞1不可能．当0＜a＜b＜1时，显然ab＜1成立．当0＜a＜1，b＞1时，由f(a)＞f(b)得|lga|＞|lgb|，∴－lga＞lgb，即lga＜－lgb.∴lga＜lg.故a＜，从而ab＜1.综上可知，ab＜1.
