高一数学反函数知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1.反函数的定义：若函数（）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到。如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，就表示y是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数（）叫做函数的反函数，记作。在函数中，y表示自变量，x表示函数。习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数中的字母x、y，把它改写成。2.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程，得到。（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到。（3）求出并说明反函数的定义域（即函数的值域）。3.关于反函数常用性质：（1）和的图象关于直线y=x对称。（2）和具有相同的单调性。（3）和互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。（4）已知f(x)求，可利用，从中求出x，即是。特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究，而不必求出其反函数。记住并理解下面几点：①若过（a，b）点，则其反函数过（b，a）点；用心爱心专心②求函数的反函数是其本身的充要条件是其对称中心在直线y=x上；③原函数与其反函数为同一函数的函数有无数多个，如是自反函数。【解题方法指导】题型一反函数的概念和求法例1.函数的反函数是（）A.B.C.D.答案：B解析：由知，且，则所求函数的反函数为，即。举一反三：记函数的反函数为，则（）A.2B.–2C.3D.–1例2.求下列函数的反函数：（1）（2）思路分析：一般情况下，求反函数应遵循：（1）先确定原函数值域，即反函数定义域；（2）由解出；（3）交换x，y，得。解：（1）由解得。（2）设当时，用心爱心专心由得当时，，由得。故函数的反函数为误区警示：求反函数不要忘记定义域，并且表示成y是x的函数形式。方法点拨：此类问题，实际上只要做两件事：①求一个函数的值域；②解一个方程。举一反三：已知函数，在同一直角坐标系中，与的图象可能是题型二原函数与反函数图象间的关系例3.若点（1，2）既在函数的图象上，又在其反函数的图象上，试确定f(x)的解析式。解：依题意，有，解得所以评注：由于互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，因而点（1，2）在反函数的图象上时，其关于直线y=x的对称点（2，1），必在原函数的图象上。例4.给定实数a，且a≠0，a≠1，设函数，求证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。思路分析：证明函数的图象关于直线y=x对称，一是定义法；二是定理法；由于函数与其反函数的图象关于直线y=x对称，只要证明函数与其反函数是同一函数即可。证法1：设P（）是函数图象上的任意一点，用心爱心专心则。①点P（）关于直线y=x的对称点为。由①式得即若，则，代入①式得，即矛盾，故。于是。∴在已知函数的图象上，从而得证。证法2：先求所给函数的反函数。由得①若，由a≠0，故得，此时又由①可得y=1，于是得，即a=1，这与已知a≠1矛盾。故，则由①得的反函数还是。由于函数与的图象关于直线y=x对称，故函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。方法点拨：本题的证法2体现了互为反函数图象的性质的应用，函数的图象与它的反函数的图象相同，而与它的反函数的图象关于直线y=x对称，根本原因在于由变为进行的是x与y的互换。一般地有函数的图象与函数的图象关于直线y=x对称。联系奇函数、偶函数图象的性质，也有结论：函数y=f(x)的图象与函数的图象关于y轴对称，函数y=f(x)图象与图象关于x轴对称，函数y=f(x)图象与图象关于原点对称。方法技巧：1.在理解反函数的概念时应注意：（1）只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。因此，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应该是原函数的值域；（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于直线y=x对称。2.反函数与原函数的关系：与互...