高一数学函数及函数的表示方法人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：函数及函数的表示方法二.学习目标1、正确理解函数的概念：通过丰富的实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言来刻画函数，了解函数的要素。2、能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“”，掌握区间的概念；3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现和概括出它们的共同特征，在此基础上，再用集合对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用。4、掌握函数的表示法，会进行函数三种表示方法的互化，培养思维的严密性、多样性新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆三.知识要点1.函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的一个值与它对应，那么就说是自变量，是的函数，自变量的取值的集合叫做定义域，自变量的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）近代定义：如果都是非空的数集，那么到的映射：就叫做到的函数，记作，其中，，原象的集合叫做函数的定义域，象的集合（）叫做函数的值域。说明：①映射：，都是非空的数集；②函数的要素：定义域、对应法则；③函数符号表示“是的函数”，可简记为函数，有时也用。④的意义：自变量取确定的值时，对应的函数值用符号表示；⑤定义域：自变量的取值的集合，值域：函数值的集合；⑥两个函数相同：当且仅当函数的要素全相同。2.区间的概念：设是两个实数，而且，规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为，.这里的实数与都叫做相应区间的端点。在数轴上，这些区间可以用一条以和为端点的线段来表示（如下表），在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。定义名称符号数轴表示闭区间用心爱心专心开区间半开半闭区间半开半闭区间说明：（1）实数集也可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”；（2）满足，，，的实数的集合分别表示为，，，.3.函数的表示法（1）解析法：用一个等式来表示两个变量之间的函数关系，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。例如：，，.说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。（2）列表法：用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法。列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。（3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图像法表示函数关系的。说明：图像法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。4.定义：在定义域内的不同部位上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数。注：含绝对值的函数实质上就是分段函数。【典型例题】例1.判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）（不是同一函数，定义域不同）（2）（不是同一函数，定义域不同）（3）（不是同一函数，值域不同）（4）（是同一函数）（5）（不是同一函数，定义域、值域都不同）例2.求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）.解：（1），即；（2），即；用心爱心专心（3）且，即.说明：从本例可以看出，求函数的定义域时通常有以下几种情况：①如果是整式，那么函数的定义域是实数集；②如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；④如果是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。例3.某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费...
