高一数学任意角的三角函数知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】【知识点精析】1.任意角的三角函数的定义：设P（x，y）是角α的终边上任意一点，|OP|＝r（r＞0），则sincosyrxr，tancotyxxy，seccscrxry，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P点的选取无关。②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为P点的理想位置。2.三角函数的定义域、值域三角函数yxsinyxcosyxtanyxcot定义域RR{|}xxkkZ≠，2{|}xxkkZ≠，值域[－1，1][－1，1]RR注意：确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为0。3.三角函数值符号用心爱心专心记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。）4.诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。即：sin()sin()cos()cos()tan()tan()()kkZkkZkkZ·°·°·°诱导公式一360360360sin()sin()cos()cos()tan()tan()()()222kkZkkZkkZ诱导公式一弧度制用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2kπ＋α，()kZ，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。5.用单位圆中的线段表示三角函数值设任意角α的终边与单位圆相交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线交于T，则有向线段MP、OM、AT，分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线。（如图所示）即：正弦线：sinMP余弦线：cosOM正切线：tanAT用途：①比较三角函数值的大小。②解简单三角不等式。用心爱心专心③证明三角等式或不等式。6.特殊角的三角函数值角函数值函数06432π322πsinα012223210－10cosα13222120－101tanα03313不存在0不存在0cotα不存在31330不存在0不存在可借助于以下图形记忆：7.需要注意的问题：在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（除不存在的情况）；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如α＝0°，sinα＝0；反过来，sinα＝0，则α＝k·360°，或α＝k·360°＋180°（共中kZ）。【解题方法指导】例1.已知角α终边上一点P在函数y＝－2x的图像上，求角α的六个三角函数值。分析：如图，函数y＝－2x的图象是过原点和二、四象限的一条直线应分类讨论：解：①当α的终边在第二象限时，取P（－1，2）则xyr125，，∴sincosyrxr25555用心爱心专心tancotyxxy212seccscrxry552②当α的终边在第四象限时，取P（1，－2），则x＝1，y＝－2，r5同理可得：sin255cos55tan2cot12sec5csc52说明：三角函数值的大小仅与角的终边位置有关，而与终边上所取的P点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。例2.已知|tan|tan，化简sincot12分析：本题首先由|tan|tan得知：tan0，α是第一、三象限的角，或kkZ()，然后运用三角函数定义，将给定的式子用x，y，r表示，就α的范围讨论x、y的符号（或者为0），最后确定化简结果。解：由|tan|tan知：α是第一、三象限的角，或α＝kkZ()（此时tanα＝0），设P（x，y）是角α的终边上任意一点，它到原点的距离为r，则rxy222，且y≠0（否则cotα无意义）∴sincot()||()()11002222222yrxyyyryryyrysin()sin()22是第一象...