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柯西不等式【柯西不等式的主要内容】1.柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定了数学分析的理论基础.数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式：若,,,abcdR，则,当且仅当时,等号成立.证法10.（综合法）当且仅当时,等号成立.证法20.（构造法）分析：而的结构特征那么，证：设， 0恒成立.∴.得证.证法30.（向量法）设向量，，则，. ，且，有.∴.得证.变式10.若,,,abcdR，则||2222bdacdcba或bdacdcba2222；变式20.若,,,abcdR，则222222()()abcdacbd；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：222212122323()()()()xxyyxxyy3.一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，,iiabR(i1,2,…,n)，则：.当且仅当时,等号成立.(若0ia时，约定0ib，i1,2,…,n).变式10.设,0(1,2,,),iiaRbin则：iiniiibaba212)(.当且仅当时,等号成立.1变式20.设0(1,2,,),iiabin则：iiiniiibaaba21)(.当且仅当nbbb21时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要.而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系.所以,它的重要性是不容置疑的！☆柯西不等式的应用：例1.已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd.试求a的最值例2在实数集内解方程22294862439xyzxyy例3设P是三角形ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明：22212xyzabcR例4(证明恒等式)已知,11122abba求证：122ba。2例5(证明不等式)设,121nnaaaa求证:011111113221aaaaaaaannn【同步训练】1.已知12,,,naaaR，求证：222212121()nnaaaaaan2.已知,,,abcd是不全相等的正数，求证：2222abcdabbccdda3.已知222231,xyzxyz求的最小值.4.设12n,x,xR,x12nxx1,x且求证：2221212x11x111nnxxxxn5.已知实数,,,,abcde满足8abcde,2222216,abcde求e的取值范围.36.已知,,,xyzR且1,xyz求证：14936xyz7.已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc8.若n是不小于2的正整数，试证：4111112172342122nn。参考答案:一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，,iiabR(i1,2,…,n)，则：211212)(niiiniiniibaba，4其中等号当且仅当nnababab2211时成立(当0ia时，约定0ib，i1,2,…,n).等号成立当且仅当)1(niabii柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。例1解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a例2解：由柯西不等式，得222222286248624xyzxyy①2222228624xyz2964364144394又22862439xyy.222222286248624xyzxyz即不等式①中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz它与862439xyy联立，可得613x926y1813z例3证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR5122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。...