摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．关键词：二重积分三重积分英文题目SummaryofmultipleintegralmethodAbstract:Thedoubleintegralandtripleintegralconceptsarehavetherealgeometryorphysicalbackground,definitionisdividedintofourstepswiththemethodofstructurearegiven,finallyshownas"Riemannand"limit.Sohasthelimitsoftheintegralmultiplebasicproperties,suchasuniqueness,linearproperties.Definitionoftheconceptofagivenaccuratedescriptionmethod,andfromthedefinitionfrompurelogiccanbereviewstheconcepthaspropertyandcalculationmethod.Keyword:Thedoubleintegraltripleintegral1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式,选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．2.研究问题及成果2.1．二重积分的计算1.在直角坐标下：(a)X-型区域几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()yyx和2()yyx；被积区域的集合表示：12{(,),()()}Dxyaxbyxyyx；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)byxayxDfxydxdydxfxydy．(b)Y-型区域几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()xxx和2()xxx；被积区域的集合表示：12{(,),()()}Dxycydxxxxx；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dxycxyDfxydxdydxfxydx．2.在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()rr和2()rr（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}Drrrr，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}Drrr；直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos,sin)(cos,sin)rrDDfxydxdyfrrrdrddfrrrdr．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3.二重积分的换元法：(,)zfxy在闭区域D上连续，设有变换(,),(,)(,)xxuvTuvDyyuv将D一一映射到D上，又(,),(,)xuvyuv关于u,v有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)xyJuv,(,)uvD则有(,)((,),(,))DDfxydxdyfxuvyuvJdudv．二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理．1.在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)zzxy和1(,)zzxy，并把区域投影到xoy面上从而确定(,)xy的范围，记为xyD；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xyVxyzxyDzxyzzxy,进一步地,xyD可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyzxyzxyVDfxyzdVdxdyfxyzdz（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)byxzxyayxzxydxdyfxyzdz（xyD为X－型）2211()(,)()(,)(,,)dxyzxycxyzxydydxfxyzdz（xyD为Y－型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多...
