复变函数1.2-复平面上的点集VIP免费

§1.2复平面上的点集我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集.1.平面点集的几个基本概念定义1.1由不等式所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以为心,以为半径的圆,称为点的-邻域,常记为.定义1.2考虑点集.若平面上一点(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,则称为E的聚点或极限点;若属于E,但非E的聚点,则称为E的孤立点;若不属于E,又非E的聚点,则称为E的外点.定义1.3若点集E的每个聚点皆属于E,则称E为闭集;若点集E的点有一邻域全含于E内,则称为E的内点;若点集E的点皆为内点,则称E为开集;若在点的任意邻域内,同时有属于点集E和不属于E的点,则称为E的边界点;点集E的全部边界点组成的点集称为E的边界.点集E的边界常记成.点集E的孤立点必是E的边界点.定义1.4若有正数,对于点集E内的点z皆合,即若E全含于一圆之内,则称E为有界集,否则称E为无界集.2.区域与约当(Jordan)曲线复变函数论的基础几何概念之一是CyOxD内点外点界点图1.12区域的概念.定义1.5具备下列性质的非空点集D称为区域:(1)D为开集.(2)D中任意两点可用全在D中的折线连接(图1.12).定义1.6区域D加上它的边界C称为闭域,记为注意区域都是开的,不包含它的边界点.例1.16试证:点集E的边界是闭集.证设z为的聚点.取z的任意邻域,则存在使得.在内能画出以为心,充分小半径的圆.这时由可见,在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在.于是,在内属于E的点和不属于E的点都存在.故z.因此是闭集.应用关于复数z的不等式来表示z平面上的区域,有时是很方便的.例1.17z平面上以原点为心,R为半径的圆(即圆形区域):以及z平面上以原点为心,R为半径的闭圆(即圆形闭域):它们都以圆周为边界,且都是有界的.例1.18z平面上以实轴为边界的两个无界区域是上半平面,及下半平面.Z平面上以虚轴为边界的两个无界区域是左半平面右半平面例1.19图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z平面的部分,表为图1.13i1-1Oyx例1.20图1.14所示的带形区域表为:例1.21图1.15所示的同心圆环(即圆环形区域)表为:r<|z|