第21章二次根式21．1二次根式专题一与二次根式有关的规律探究题1．将1、、、按下图方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左到右第n个数，则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()A．1B．2C．2D．62．观察下列各算式：①＝＋＝16＋4＝20；②＝＋＝40＋4＝44；③＝＋＝72＋4＝76；④＝＋＝112＋4＝116；…(1)根据以上规律计算：；(注意计算技巧哦！)(2)请你猜想的结果．(用含n的式子表示)13．(2011·珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝________，b＝________；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：________＋________＝(________＋________)2；(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．专题二利用二次根式的性质将代数式化简4．把化成最简二次根式正确的结果是()A.B.C．－D．－5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简－－＝________.答案1．D[解析]从图示中知道，(4,2)所表示的数是.∵前20排共有1＋2＋3＋4＋…＋20＝2102个数，∴(21,2)表示的是第210＋2＝212个数．∵这些数字按照1、、、的顺序循环出现，212÷4＝53，∴(21,2)表示的数是.∴(4,2)与(21,2)表示的两数之积是×＝6.2．解：(1)原式＝＋＝2006×2012＋4＝4036076.(2)原式＝＋＝2n×(2n＋6)＋4＝4n2＋12n＋4.3．解：(1)∵a＋b＝(m＋n)2，∴a＋b＝m2＋3n2＋2mn，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn.故答案为m2＋3n2,2mn.(2)答案不唯一，如设m＝1，n＝1，∴a＝m2＋3n2＝4，b＝2mn＝2.故答案为4、2、1、1.(3)由题意，得：a＝m2＋3n2,4＝2mn，∵m、n为正整数，∴m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13.4．D[解析]因为a－b<0,所以＝－＝－.5．－2b[解析]由图可知a<0，b>0，|a|＞|b|,所以－－＝－a－b＋a－b＝－2b.21．2二次根式的乘除法专题二次根式分母有理化的应用1．若x＝，y＝＋1，则()A．x、y互为倒数B．x、y互为相反数C．x、y相等D．x、y互为负倒数2．按要求解决下列问题：(1)化简下列各式：＝________，＝________，＝________，＝________，…(2)通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．33．计算：(1)×÷2；(2)÷×(a，b>0)．答案1．C[解析]先将x分母有理化，得x＝＝＋1，这样就一目了然了．故选C.2．[解析]将二次根式进行分母有理化，通过(1)观察得出规律．解：(1)24610(2)由(1)中各式化简情况可得＝2n.证明如下：＝＝＝2n.3．[解析]二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行．解：(1)原式＝×÷＝＝3.(2)原式＝2b÷×＝×＝－.421．3二次根式的加减法专题一用简便方法解决二次根式运算1．(－＋)(－－)．2．计算：＋＋＋＋.3.÷a2b2(m>0)．4.÷＋－(a≠b)．专题二整体思想在二次根式的化简求值中的应用5．已知x＝，y＝，求的值．56．当x＝1－时，求＋＋的值．答案1．[解析]将－看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．解：原式＝(－)2－()2＝5－2＋3－2＝6－2.2．[解析]对每个根式都进行分母有理化解：原式＝－1＋－＋－＋－＋－＝－1.3．[解析]先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．解：原式＝·＝－＋＝－＋＝.4.[解析]本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．解：原式＝÷＝÷＝·＝－＋.5．[解析]先将已知条件化简，再将所求分式化简，最后将已知条件代入求值．解：∵x＝＝(＋)2＝5＋2.y＝＝(－)2＝5－2，∴x＋y＝10，x－y＝4，xy＝52－(2)2＝1，∴＝＝＝＝.[点评]本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”的值．从而使求值的过程更简捷．6．[解析]注意：x2＋a2＝()2，∴x2＋a2－x＝(－x)，x2－x＝－x(－x)．解：原式＝－＋＝＝＝＝6＝.当x＝1－时，原式＝＝－1－.[点评]本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－＋＝－＋＝.7
