专题231双曲线及其标准方程（课件）-2019-2020学年上学期高二数学同步精品课堂（人教A版选修2-1）VIP专享VIP免费

第二章圆锥曲线与方程人教A版选修2-1人教A版选修2-1学易同步精品课堂2.3.1双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两焦点间的距离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)焦点F1，F2F1，F2a，b，c的关系c2＝(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)a2＋b2y2a2－x2b2＝1x2a2－y2b2＝1[基础自测]1．思考辨析(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()[答案](1)×(2)×(3)×2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43D[c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C．x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C．][合作探究·攻重难]双曲线的定义及应用例1、若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离．(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[思路探究](1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.[解](1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.(2)由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.[规律方法]求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|求得面积.[跟踪训练]1．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±4A[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.](2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.9[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝4－12＋42＝25＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.]求双曲线的标准方程例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A1，－4103；(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上．[思路探究](1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点...