基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若，则（2）若，则2、基本不等式一般形式（均值不等式）若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则（2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若，则(当且仅当时取“=”）（2）若，则(当且仅当时取“=”）（3）若，则(当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”6、柯西不等式（1）若，则（2）若，则有：（3）设是两组实数，则有二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设均为正数，证明不等式:≥2、已知为两两不相等的实数，求证：3、已知，求证：4、已知，且，求证：5、已知，且，求证：6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,abc均为正数,且1abc,证明:(Ⅰ)13abbcca;(Ⅱ)2221abcbca.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲已知，求证:题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知，求函数的最小值；变式1：已知，求函数的最小值；变式2：已知，求函数的最大值；练习：1、已知，求函数的最小值；2、已知，求函数的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当时，求的最大值；变式1：当时，求的最大值；变式2：设，求函数的最大值。2、若，求的最大值；变式：若，求的最大值；3、求函数的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知，求的最小值；法一：法二：变式1：已知，求的最小值；变式2：已知，求的最小值；变式3：已知，且，求的最小值。变式4：已知，且，求的最小值；变式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：求函数的值域；2、求函数的最大值；（提示：换元法）变式：求函数的最大值；题型七：基本不等式的综合应用1、已知，求的最小值2、（2009天津）已知，求的最小值；变式1：（2010四川）如果，求关于的表达式的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；3、已知，，求最小值；变式1：已知，满足，求范围；变式2：（2010山东）已知，，求最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知，，求最大值；4、（2013年山东（理））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（）（）A．B．C．D．（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数，满足，求的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012沈阳检测）已知，且恒成立，求正实数的最小值；2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若，则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式若，则有：5、一般维柯西不等式设是两组实数，则有:题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设，若，则的最小值为时，析：∴最小值为此时∴，，2、设，，求的最小值，并求此时之值。：3、设，，求之最小值为，此时（析：）4、（2013年湖南卷（理））已知则的最小值是()5、（2013年湖北卷（理））设,且满足:,,求的值；6、求的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为）析：令(2sin，cos，cos)，(1，sin，cos)
