一元二次方程根与系数的关系 (2)VIP免费

第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法*5一元二次方程根与系数的关系学习目标：1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（重点）；3.学会用根与系数的关系求字母的值（难点）.自主学习一、新知预习问题解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？猜想1若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.猜想2若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=_____.合作探究一、探究过程探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，求x1+x2,x1x2的值.根据公式法，我们可以知道x1=_________，x2=_________.则x1+x2=______,x1x2=______.【归纳总结】一元二次方程根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=______.【典例精析】例1设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（2）解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=______,x1x2=_______.（1）=________=_______.x1x2x1+x2x1x2x2+6x-16=0x2-6x+8=0x1x2x1+x2x1x22x2-3x+1=02x2+3x-5=0（2）=____________=______;【归纳总结】解决此类问题先要确定a，b，c的值及Δ=b²-4ac的符号.若Δ≥0，再求出的x1+x2,x1x2值，再将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.【针对训练】1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为()A．－1B．9C．23D．272.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程_______________．探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用例2已知方程2290xkx的一个根是－3，求另一根及k的值.解：方法一： 方程2290xkx的一个根为-3，∴把x=-3代入得，解得k=，把k=代入原方程得，解得x1=,x2=____.∴k=，方程的另一个根为.方法二： 方程2290xkx的一个根为-3，∴x1+x2=_，x1x2=_，∴把x1=-3代入得，解得x2=，把x1=-3，x2=代入x1+x2=_，解得k=，∴k=，方程的另一个根为.【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.【针对训练】3.已知2220050xx、是方程的两个实数根，求23的值.4.关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，求212()xx的值.二、课堂小结根与系数的关系公式x1＋x2＝，x1·x2＝.x1＋x2＝，x1·x2＝.应用应用前提方程必须有解.应用形式①已知一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③已知两根求方程；④已知两个根的数量关系，求未知字母的值（要注意取舍）.当堂检测1.若方程241xx的两个根为1x，2x，则1x2x的值是.2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是()A．7B．－7C．11D．－113.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值．（1）x·x2＋x1·x；（2）|x1－x2|.4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.5.已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，(1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．参考答案自主学习一、新知预习2-8-6-162468猜想1-pq1-1--猜想2-合作探究一、探究过程探究点1：【验证猜想】（1）（2）-【归纳总结】-【典例精析】例1-2-（1）x1x2+2（x1+x2）+4-（2）【针对训练】1.D2.x²+3x-10=0（答案不唯一，合理即可）探究点2：例2方法一：18-3k-9=0332x²+3x-9=0-33方法二：--x1x2=--33【针对训练】3.解： Δ=2²-4×（-2005）=8024＞0，a=1，b=2，c=2005，∴α²+3α+β=α²+2α+α+β=2005+（-2）=2003.4.解： x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=2m-1. x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，∴m2-2（2m-1）=7，解得m1=5，m...