第二课时直线与椭圆的位置关系考点一直线与椭圆位置关系的判定(基础之翼练牢固)[题组练通]1．若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1B.m>0C．00，即－3232时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．[一“点”就过]判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点二中点弦与弦长问题(综合之翼巧贯通)考法(一)中点弦问题[例1]已知P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．[解析]法一：根与系数关系易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y－1＝kx－1，x24＋y22＝1消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝4kk－12k2＋1，又 x1＋x2＝2，∴4kk－12k2＋1＝2，解得k＝－12.经检验，k＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.法二：点差法易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y212＝1，①x224＋y222＝1，②①－②得x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y22＝0， x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x1－x22＋y1－y2＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12.经检验，k＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.[答案]x＋2y－3＝0[解题方略]1．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．2．用“点差法”求解弦中点问题的步骤考法(二)弦长问题[例2]斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105[解析]设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t，消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t2－15.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·－85t2－4×4t2－15＝425·5－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.[答案]C[解题方略]弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率)．[提醒]利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[过关集训]1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得y1－y2x1－x2＝－b...
