《函数的极值》参考课件VIP专享VIP免费

1.2函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数极值的判定方法教学难点：函数极值的判定方法三、教学方法：探究归纳，讲练结合一、复习:利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数;)(xf③解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.)()(xfxf在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.二、新课探析1．函数的极值:一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.oaX1X2X3X4bxy)(4xf)(1xf请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.oaX1X2X3X4bxy)(4xf)(1xf(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.oaX1X2X3X4bxy)(4xf)(1xfoaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xfoaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf２．求可导函数f(x)的极值一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,0)(,0)(xfxf(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(xfxf要注意以下两点:(2)不可导点也可能是极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.(1)可导函数的极值点一定是导数为零的点,导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,例1:求y=x3/3－4x+4的极值.解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+Y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:(2).求导数).(xf(3).求方程的根.0)(xf(4)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;)(xf(1)求函数的定义域成表格域分成若干个小区间列的根顺次将函数的定义用方程0)x(f例２、的极值？求函数246x3x3xy22/)1(6)(xxxf先求函数的导数.1,01321xxx、驻点为(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)f/(x)f(x)000--++减减增增101的符号状态如下：、变化时，当)x(f)x(fx/导数为零的点不一定是极值点！x=-1,x=0,x=1;当x=0是函数极小值点y=0.1-1fx=x2-13+1xOy练习１:求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a>0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xfx(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)A(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.练习２:求函数的极值.216xxy解:.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y’-0+0-y↘极小值-3↗极大值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.1.用导数来确定函数的极值步骤：(1)先求函数的导数f/(x)；(2)再求方程f/(x)=0的根；(3)...