正弦定理（第课时）VIP免费

第一章解三角形人教A版必修五1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理（第1课时）学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．[自主预习·探新知]1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC所对角的正弦思考：如图111，在Rt△ABC中，asinA，bsinB，csinC各自等于什么？图111[提示]asinA＝bsinB＝csinC＝c.2．解三角形(1)一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？[提示]利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．三个角A，B，C对边a，b，c其他元素[基础自测]1．思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)正弦定理不适用于直角三角形．()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．()[答案](1)×(2)×(3)√提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．[基础自测]1．思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)正弦定理不适用于直角三角形．()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．()[答案](1)×(2)×(3)√提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝________.23[由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝32×sin45°sin60°＝23.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______________．2[AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝2.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C＝________.π2[由正弦定理得：3sinπ3＝3sinB，所以sinB＝12.又a>b，所以A>B，所以B＝π6，所以C＝π－π3＋π6＝π2.][合作探究·攻重难]定理证明例1、在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明]如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.[规律方法](1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.(2)要证asinA＝bsinB，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.[跟踪训练]1．如图112，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明asinA＝2R.图112[证明]连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A. A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝BCA′B＝a2R，∴sinA＝a2R，即asinA＝2R.用正弦定理解三角形例2、已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.思路探究：①角A，B，C满足什么关系？②105°可拆分成哪两个特殊角的和？③由正弦定理如何求得b，c的值？[解] A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝asinCsinA＝102.b＝asinBsinA＝10·sin105°sin30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B＝105°，b＝5(6＋2)，c＝102.[规律方法](1)正弦定理实际上是三个等式：asinA＝bsinB，bsinB＝csinC，asinA＝csinC，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.[跟踪训练]2．已知∠B＝30°，b＝2，c＝2，求A、C、a.[解]由正弦定理得：sinC＝c·sinBb＝2sin30°2＝22， c>b,0°