第9讲分式方程及应用考点一分式方程及解法1．分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，即分式方程――→去分母转化整式方程．3．解分式方程的步骤①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根．4．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．解分式方程时，有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为零的是增根，否则不是)．考点二与增根有关的问题1．分式方程的增根必须同时满足两个条件(1)是由分式方程化成的整式方程的根；(2)使最简公分母为零．2．增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．考点三列分式方程解应用题1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样．不同之处是列出的方程是分式方程．求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根．．，不要缺少了这一步.2．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题．(包括日历中的数字规律)①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是100a＋10b＋c；②日历中前后两日差1，上下两日差7.(2)体积变化问题．(3)打折销售问题．①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%.(4)行程问题．(5)教育储蓄问题．①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)；③利息税＝利息×利息税率；④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．(1)(2010·咸宁)分式方程xx－3＝x＋1x－1的解为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝3D．x＝－3(2)(2009中考变式题)若解分式方程mx＋1x－1＝－1时产生增根，则m的值是()A．0B．1C．－1D．±1【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得x＝－3.经检验：x＝－3是原方程的根．∴分式方程的解为x＝－3.(2)题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根． mx＋1x－1＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1.【解答】(1)D(2)C(1)(2010·眉山)解方程：xx＋1＋1＝2x＋1x；(2)(2010·上海)解方程：xx－1－2x－2x－1＝0.【点拨】本组题考查分式方程的解法，一般步骤为：①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根．这三步缺一不可．【解答】(1)方程两边同时乘以x(x＋1)，约去分母，得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得x＝－12.经检验，x＝－12是原方程的根．所以，原方程的解为x＝－12.(2)方程两边同时乘以x(x－1)，约去分母，得x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0解得x＝12或x＝2.经检验，x＝12或x＝2都是原方程的根．所以原方程的解为x＝12或x＝2.(2010·重庆)某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意．【解答】(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程，由题意，得20(1x＋1x＋30)＝1.整理，得x2－10x－600＝0.解得x1＝30，x2＝－20.经检验，x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意，舍去．当x＝30时，x＋30＝60.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．(2)合作(20－a3)天(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)(20－a3)≤64.解得a≥36.即甲工程队至少单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．1．方程x－2x－4＝xx－6的解是(C)A．x＝1B．x＝2C．...
