课时提升练(四十四)椭圆一、选择题1．(2014·西安模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1【解析】由题意可知c＝1，＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.∴C的方程为＋＝1.【答案】C2．(2014·银川模拟)已知正方形ABCD，以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为()A.－1B.C.D.－1【解析】依题意，设|AB|＝m，则题中的椭圆的离心率是e＝＝－1，故选D.【答案】D3．(2013·四川高考)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入＋＝1，得＋＝1，则y＝b2＝b2·＝.∴y0＝或y0＝－(舍去)，∴P，∴kOP＝－. A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－.又 AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－＝－，∴b＝c.∴e＝＝＝＝.故选C.【答案】C4．(2014·衡水模拟)已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为()A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)或(0，－1)【解析】由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．【答案】D5．(2014·福建高考)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5B.＋C．7＋D．6【解析】如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r＞0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.1令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，故选D.【答案】D6．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为－2时，直线PA2的方程为y＝－2(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k＝.同理，当直线PA2的斜率为－1时，直线PA2方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k＝.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是.【答案】B二、填空题7．(2014·上海八校联考)直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．【解析】注意到直线x－2y＋2＝0与两坐标轴的交点坐标分别是(－2,0)，(0,1)，依题意得F1(－2,0)，B(0,1)，即b＝1，c＝2，a2＝22＋12＝5，所求的椭圆的方程是＋y2＝1.【答案】＋y2＝18．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.【解析】椭圆＋＝1中，a＝3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.2 D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.【答案】129．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．【解析】因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1＞a＋3＞0，解得－3＜a＜－2.【答案】(－3，－2)三、解答题10.图852(2014·江苏高考)如图852，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．【解】设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得或所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，3整理得a2＝5c2.故e2＝，因此e...
