6.3等比数列及其前n项和第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自诊1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=;通项公式的推广an=amqn-m.3.等比中项如果成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒.4.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞.第2项同一个公比a1·qn-1(a1≠0,q≠0)a,G,bG2=ab第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自诊设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则,其中m,n,p,q,s,r∈N*.(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm(k,m∈N*).(3)若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{ban},{pan·qbn}和也是等比数列.apar=as2൜𝑝𝑎𝑛𝑞𝑏𝑛ൠ(4)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.(5)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,𝑇2𝑛𝑇𝑛,𝑇3𝑛𝑇2𝑛,…成等比数列.(6)若数列{an}的项数为2n,则S偶S奇=q;若项数为2n+1,则S奇-a1S偶=q.(7)当公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n−S2n仍成等比数列,其公比为qn.第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列.()(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{lnan}是等差数列.()(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为()Sn=𝑎(1-𝑎𝑛)1-𝑎.××√×××第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自诊2.(2019湖南湘潭一模,3)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,S2=3a2,则𝑎3+𝑎4𝑎1+𝑎2=()A.14B.12C.2D.4A解析:由题意得,S2=a2+a1=3a2,a2=12a1,公比q=12,则𝑎3+𝑎4𝑎1+𝑎2=q2=14,故选A.3.(2019河北唐山一模,5)在等比数列{an}中,若a6=8a3=8𝑎22,则an=()A.an=2𝑛-1B.an=2nC.an=3𝑛-1D.an=3nA解析:由a6=8a3,得a3×q3=8a3,q=2,由8a3=8𝑎22,得a3=𝑎22,即a2q=𝑎22,所以a2=q=2,从而a1=1,所以an=2𝑛-1.第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自诊4.(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2C解析:设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a5=3a3+4a1,知q≠1.则൝𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞=15,𝑎1𝑞4=3𝑎1𝑞2+4𝑎1,解得൜𝑎1=1,𝑞=2,所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.5.(2019北京怀柔模拟,10)若数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an=.4n-1解析:因为数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力关键能力-7-考点1考点2考点3考点4等比数列的基本运算例1(1)(2019四川成都高新区模拟,9)已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=18,则a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=()A.25532B.8532C.2552D.853(2)(2019山东菏泽模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则𝑆𝑛𝑎𝑛=.B2n-1第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力关键能力-8-考点1考点2考点3考点4解析:(1)已知数列{an}是等比数列,且a2=1,a5=18,可得ቊ𝑎2=𝑎1𝑞=1,𝑎5=𝑎1𝑞4=18,解得ቊ𝑎1=2,𝑞=12,所以a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=𝑎12q+𝑎12q3+𝑎12q5+𝑎12q7=2212+ቀ12ቁ3+ቀ12ቁ5+ቀ12ቁ7=4ቀ12+18+132+1128ቁ=8532,故选B.(2) ቐ𝑎1+𝑎3=52,𝑎2+𝑎4=54,∴ቐ𝑎1+𝑎1𝑞2=52,①𝑎1𝑞+𝑎1𝑞3=54,②由①除以②可得1+𝑞2𝑞+𝑞3=2,解得q=12,代入①得a1=2,∴an=2×12n-1=42𝑛,∴Sn=2×[1-(12)𝑛]1-12=41-12𝑛,∴𝑆𝑛𝑎𝑛=4(1-12𝑛)42𝑛=2n-1.第六章6.3等比数列及其前n项和必备知识关键能力关键能力-9-考点1考点2考点3考点4思考解决等比数列基本...
