第十四周周清椭圆及其标准方程、椭圆几何性质核心知识1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，求椭圆的标准方程。解析∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.2.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，求|PF1|＋|PF2|解析依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.3.求以F1(0，－1)，F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P，则椭圆C的方程.解析由题意得，c＝1,2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2.故a＝，b＝1.则椭圆的标准方程为x2＋＝1.4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P，求椭圆的方程.解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，将点(－5,4)代入得＋＝1，又离心率e＝＝⇒e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.5.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，求椭圆的离心率.解析由题意得2a＝2b⇒a＝b，又a2＝b2＋c2⇒b＝c⇒a＝c⇒e＝.
