排列、组合、二项式定理【考点梳理】一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。2.排列、排列数公式。3.组合、组合数公式。4.组合数的两个性质。5.二项式定理，二项式展开的性质。二、考试要求1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。三、考点简析1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理（1）分类计数原理中的分类。（2）分步计数原理中的分步。正确地分类与分步是学好这一章的关键。3.排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系==n·(n-1)…(n-m+1)（3）全排列列：=n!（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=7204.组合（1）组合的定义，排列与组合的区别（2）组合数公式：Cnm==（3）组合数的性质C①nm=Cnn-m②rC③nr=n·Cn-1r-1C④n0+Cn1+…+Cnn=2nC⑤n0-Cn1+…+(-1)nCnn=0即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-15.二项式定理（1）二项式展开公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是Tk+1=Cnkan-kbk6.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和。（2）证明一些简单的组合恒等式。（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题。（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+x)①n≈1+nx(1+x)②n≈1+nx+x2（5）证明不等式。四、思想方法1.解排列组合应用题的基本规律（1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。（2）将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。（3）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素。②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。③整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。（4）对解组合问题，应注意以下三点：①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”。③设计“分组方案”是解组合题的关键所在。2.解排列、组合题的基本策略与方法（1）去杂法对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之一。注意的是：分类不重复不遗漏，即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，后分步。（4）插入法（插空法）某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。（5）“捆绑”法把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”。将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。（6）穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。（7）探索法：对于复杂的情况，不易发现其规律的问题，需仔细分析，从特殊到一般，或一般到特殊，探索出其中规律，再给予解决。（8）消序处理对均匀分组问题的解决，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除均匀分组无形中产生的有序因素。（9）“住店”法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店”法。（10）等价命题转换法将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。这是解数学题的主要思想方法之一，也是解较难的排列、组合题...
