北京十三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知锐角α终边上一点A的坐标是（2sin，2cos），则α的弧度数是（）A．B．C．D．22．（5分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．eB．﹣eC．D．﹣4．（5分）若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）5．（5分）函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）设函数，的零点分别为x1，x2，则（）A．0＜x1x2＜1B．x1x2=1C．1＜x1x2＜2D．x1x2≥217．（5分）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=（x﹣1）2；②f（x）=|2x﹣1|；③；④f（x）=ex．其中存在“稳定区间”的函数有（）A．①③B．①②③④C．②④D．①②③8．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若复数z=（x∈R）为纯虚数，则x=．10．（5分）若+=（﹣2，﹣1），﹣=（4，﹣3），则与的夹角为．11．（5分）已知I={不超过5的正整数}，A={x|x2﹣5x+q=0}，B={x|x2+px+12=0}，且∁IA∪B={1，3，4，5}，则p+q=．12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω=，f（1）+f（2）+f（3）+…+f=．13．（5分）（文）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．2三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，a=2sinA且b=．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3c，求c的值．16．（13分）已知向量=（2cosx，2sinx），=（sinx，﹣sinx），=（﹣1，），其中x∈R．（Ⅰ）当⊥时，求x值的集合；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求|﹣|的最大值．17．（13分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．18．（13分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．320．（14分）已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[﹣1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．（1）求的取值范围；（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）求|AC|的取值范围．北京十三中2015届高三上学期期中数学试...
