星期四(函数与导数)2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的极值、单调性、最值及不等式恒成立等)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值.解(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.因为函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xlnx，又k＜＝对任意x＞1恒成立，令g(x)＝，则g′(x)＝，令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则h′(x)＝1－＝＞0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增.因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4).当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0；当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以函数g(x)＝在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝＝＝x0，所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整数k的最大值是3.
