专题四立体几何第1讲空间几何体中的计算训练文一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A－A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝＝＝.选D.答案D2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2解析该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm，所以表面积S＝(2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3)＋＝138(cm2)，故选D.答案D3.(2016·皖南八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π解析这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.答案A4.(2015·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A.1B.2C.4D.8解析由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成，∴2r·2r＋2πr2＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2.答案B5.三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为()A.πB.πC.3πD.12π解析如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径.由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝，SC＝，所以球的半径R＝，所以球的表面积为4π×＝3π.答案C二、填空题6.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V＝2×π×12×1＋π×12×2＝π(m3).答案7.(2016·四川卷)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC＝2，AC边上的高为1，∴S△ABC＝×2×1＝.由侧视图可知：三棱锥的高h＝1，∴VS－ABC＝S△ABCh＝.答案8.(2016·成都诊断)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是________.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱， VP－A1MN＝VA1－PMN，又 AA1∥平面PMN，∴VA1－PMN＝VA－PMN，∴VA－PMN＝××1××＝，故VP－A1MN＝.答案三、解答题9.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF.如图：(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).10.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BE.因为BE∩BD＝B，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，BG⊂平面ABC...
