专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题训练文一、选择题1.(2016·衡水中学模拟)已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A.3B.4C.5D.15解析在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.答案D2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为()A.B.C.D.∪解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋，与椭圆的方程联立，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪.答案D3.(2016·榆林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()A.(1，2)B.(1，2]C.(1，)D.(1，]解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案B4.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为()A.1B.2C.4D.8解析不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案B5.抛物线y2＝8x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－2，0)，则的最大值为()A.1B.C.D.2解析由点P(x，y)在抛物线y2＝8x上，得y2＝8x(x≥0).由抛物线的定义可得|PF|＝x＋2，又|PA|＝＝，所以＝＝＝.当x＝0时，＝1；当x≠0时，＝，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故x＋＋4≥8，0＜≤1，所以∈(1，].综上，∈[1，].所以的最大值为.答案B二、填空题6.(2016·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，得1＜e≤2.答案(1，2]7.若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________.解析可知e＝＝1－，e＝＝1＋，所以e＋e＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.答案(0，1)8.(2016·合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________.解析由e2＝1－＝，得＝，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝·＝，①把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－.答案－三、解答题9.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，)，(0，－)，又点A(1，)在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线l的斜率为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值.解(1)由已知椭圆的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1，将点A(1，)代入方程得＋＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍)，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)＞0，可得m2＜8，①由x1＋x2＝－m，x1x2＝，故|BC|＝|x1－x2|＝又点A到BC的距离为d＝.故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝.当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足①式)，所以△ABC面积的最大值为.10.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围.(1)解 l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则∴kPQ＝＝，又 P、Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又 PQ的中点一定在l上，∴＝＋2＝2－...
