创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量训练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量训练文一、选择题1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A.1B.2C.3D.5解析由|a＋b|＝得|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10，①②由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1.答案A2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当向量a和b方向不共线时，有|a－b|＞||a|－|b||，对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B3.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.π解析由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，所以3×－cosθ－2＝0，cosθ＝，由于θ∈[0，π]，所以θ＝，选A.答案A4.(2016·郑州模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a＋2c)∥b，则k＝()A.1B.2C.3D.4解析依题意得a＋2c＝(3，1)＋(2k，14)＝(3＋2k，15)，因为b＝(1，3)，(a＋2c)∥b.所以3(3＋2k)＝15，解得k＝1.答案A5.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于()A.－B.－C.－D.－解析∵BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝，∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝＋0－1＝－.答案B二、填空题6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.解析由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.答案－7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.解析∵AB2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；∵BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|b|＝2，故②错误；∵b＝AC－AB，∴a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；∵BC＝b，故④正确；∵(AB＋AC)·(AC－AB)＝AC2－AB2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确.答案①④⑤8.(2016·石家庄模拟)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________.解析∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0，∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0.∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，∴(λ－1)|AB||AC|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.答案三、解答题9.设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.解(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.10.(2016·福建南平3月模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.解(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.11.(2016·海口4月测试)已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.解(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.