专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习理一、选择题1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A.1B.2C.3D.5解析由|a＋b|＝得|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10，①又|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6，②由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1.答案A2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C.－D.－解析AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，|CD|＝5，故AB在CD方向上的投影为＝＝.答案A3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|＞1⇔θ∈p2：|a＋b|＞1⇔θ∈p3：|a－b|＞1⇔θ∈p4：|a－b|＞1⇔θ∈其中的真命题是()A.p1，p4B.p1，p3C.p2，p3D.p2，p4解析|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cosθ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，∴cosθ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.答案A4.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.解析因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案A5.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为()A.B.C.D.解析法一由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方，整理可得a·b＝0.①由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方，可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②将①代入②，得b2＝3a2，即|b|＝|a|.而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝＝＝＝.又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A.法二如图，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b.由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，可得|OC|＝|BA|＝2|OA|，所以平行四边形OACB是矩形，BC＝OA＝a.从而|OC|＝2|BC|.由Rt△BOC中，|OB|＝故cos∠BOC＝＝，所以∠BOC＝.从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A.答案A二、填空题6.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________.解析由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为90°.答案90°7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.解析 AB2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确； BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|b|＝2，故②错误； b＝AC－AB，∴a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误； BC＝b，故④正确； (AB＋AC)·(AC－AB)＝AC2－AB2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确.答案①④⑤8.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由BM＝2MA，得解得即M点坐标为(2，1)，所以CM·CB＝(2，1)·(0，3)＝3.法二CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB·＝CB2＋CB·(CA－CB)＝CB2＝3.答案3三、解答题9.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.解(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.②当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.10.设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.解(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从...
