专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题训练文一、选择题1.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为()A.2B.3C.4D.5解析设数列{an}的公差为d，∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，∴5a5＝10，∴a5＝2.答案A2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于()A.3B.4C.5D.6解析由已知得Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝－2，又Sm＝＝－11，故a1＝－1，又am＝a1qm－1＝－16，代入可求得m＝5.答案C3.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于()A.n(n＋1)B.n(n－1)C.D.解析由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).答案A4.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，则S40＝S30＋＝70＋＝150.答案A5.(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()1A.a1d＞0，dS4＞0B.a1d＜0，dS4＜0C.a1d＞0，dS4＜0D.a1d＜0，dS4＞0解析∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.答案B二、填空题6.(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________.解析设等差数列{an}公差为d，由题意可得：解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.答案207.若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是________.解析当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，∴an＝Sn－Sn－1＝an＋－an－1－＝an－an－1.∴an＝－2an－1，又n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.答案an＝(－2)n－18.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案－三、解答题9.(2016·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.2(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和.解(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.10.(2016·洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列.an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤＝.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.11.(2016·泉州二模)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.解(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得或故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.(2)若an＝·3n－1，则＝，则是首项为，公比为的等比数列.从而＝＝·<<1.若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列，从而＝故<1.综上，对任何正整数m，总有<1.故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立.3
