专题一函数与导数、不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程训练文一、选择题1.(2016·沈阳模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(－1，1)上单调递减的函数是()A.f(x)＝sinxB.f(x)＝2cosx＋1C.f(x)＝2x－1D.f(x)＝ln解析由函数f(x)为奇函数排除B、C，又f(x)＝sinx在(－1，1)上单调递增，排除A，故选D.答案D2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.9D.12解析因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.答案C3.(2016·浙江卷)函数y＝sinx2的图象是()解析 y＝sinx2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.又当x2＝，即x＝±时，ymax＝1，排除B，故选D.答案D4.设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.B.∪(1，＋∞)C.D.∪解析由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，故选A.答案A5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由以上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.答案B二、填空题6.(2016·成都二诊)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.解析由题意f(x)的图象如图，则∴1＜a≤2.答案(1，2]7.设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________.解析根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.答案－8.已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.解析根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.答案三、解答题9.已知函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.解当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，它显然有一个为正实数的零点.当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋1的图象是抛物线，且与y轴的交点为(0，1)，由f(x)有且仅有一个正实数的零点，则得：①或②x＝<0，解①，得m＝1：解②，得m<0.综上所述，m的取值范围是(－∞，0]∪{1}.10.已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值，k(2)＝2－2ln2－a，因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一...
