第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·西安调研)定积分(2x＋ex)dx的值为()A.e＋2B.e＋1C.eD.e－1解析(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.故选C.答案C2.若dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是()A.2B.3C.4D.6解析dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1，∴a2＋lna－1＝3＋ln2，则a＝2.答案A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.gB.gC.gD.2g解析电视塔高h＝gtdt＝1＝g.答案C4.如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()A.|x2－1|dxB.C.(x2－1)dxD.(x2－1)dx＋(1－x2)dx解析由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx.答案A5.若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S10，若(2x－2)dx＝8，则t＝________.解析由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去).答案47.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________.解析根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a<0).因为f(x)的图象过(0，1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.所以S＝(1－x2)dx＝2(1－x2)dx＝2＝2＝.答案8.(2017·济南模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析封闭图形如图所示，则dx＝＝a－0＝a2，解得a＝.答案三、解答题9.计算下列定积分：(1)dx；(2)dx；(3)sindx；(4)(x2tanx＋x3＋1)dx；(5)|x2－2x|dx.解(1)原式＝＝－＝－ln2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x轴围成的图象的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴＝；(3)原式＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝－(－cos0＋sin0)＝2；(4)原式＝(x2tanx＋x3)dx＋1dx＝0＋x＝2；(5)∵|x2－2x|＝∴|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.10.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点(1，1)，解方程组得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2＝1＋－＝.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A.－1B.－C.D.1解析由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，∴m＝－.答案B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln5B.8＋25lnC.4＋25ln5D.4＋50ln2解析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝dt＝＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5(m).答案C13.(2017·郑州调研)(＋ex－1)dx＝________.解析(＋ex－1)dx＝dx＋(ex－1)dx.因为dx表示单位圆的上半部分的面积，则dx＝，又(ex－1)dx＝(ex－x)|＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.答案＋e－－214.在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.解S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t的面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
